2015年考研数学三第7题

本步骤的目标是写出概率的加法公式。对于任意两个事件$A$和$B$，概率加法公式为： $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ 该公式也称为概率的加法法则，它表明事件$A$与事件$B$至少有一个发生的概率等于各自概率之和减去它们同时发生的概率。 推导思路：当事件$A$和$B$互不相容（即$A \cap B = \varnothing$）时，有$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$。但在一般情况下，$A$和$B$可能有重叠部分，若直接相加$P(A)+P(B)$，则重叠部分$A \cap B$被重复计算了一次，因此需要减去一次$P(A \cap B)$。 在概率论中，该公式是计算事件并集概率的基础工具。例如，若已知$P(A)=0.5$，$P(B)=0.4$，$P(A \cap B)=0.2$，则$P(A \cup B)=0.5+0.4-0.2=0.7$。 注意：该公式适用于任意两个事件，无论它们是否独立。若事件独立，则$P(A \cap B)=P(A)P(B)$，代入公式可得$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$。

已知事件$A$与$B$为任意两个事件，考虑事件$A+B$（即$A \cup B$）与事件$AB$（即$A \cap B$）之间的关系。对于任意样本点$\omega$，若$\omega \in AB$，则$\omega \in A$且$\omega \in B$，从而$\omega \in A \cup B$，即$\omega \in A+B$。因此，事件$AB$中的每一个样本点都属于事件$A+B$，故有包含关系$AB \subseteq A+B$。 根据概率的单调性（即若事件$E \subseteq F$，则$P(E) \leq P(F)$），由$AB \subseteq A+B$可得$P(AB) \leq P(A+B)$。移项即得$P(A+B) \geq P(AB)$。 这一不等式是后续推导的基础，它表明两个事件的和事件的概率至少不小于它们的积事件的概率。在本题中，该不等式将用于建立概率大小关系的比较。

本步骤的目标是将概率的加法公式代入已知不等式，并通过代数变形得到所需的不等式关系。 已知事件$A$与$B$的概率满足不等式$P(A \cup B) \geq P(AB)$。根据概率的加法公式，对于任意两个事件$A$和$B$，有： $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$ 将此公式代入原不等式$P(A \cup B) \geq P(AB)$中，得到： $$P(A) + P(B) - P(AB) \geq P(AB)$$ 接下来进行移项处理。将右边的$P(AB)$移到左边，同时将左边的$-P(AB)$移到右边，注意移项时要变号： $$P(A) + P(B) \geq P(AB) + P(AB)$$ 即： $$P(A) + P(B) \geq 2P(AB)$$ 为了得到$P(AB)$的上界，将不等式两边同时除以2（由于2为正数，不等号方向不变）： $$P(AB) \leq \frac{P(A) + P(B)}{2}$$ 至此，我们完成了从已知不等式到目标不等式的推导。该结果给出了事件$A$与$B$同时发生的概率的一个上界，即不超过$P(A)$与$P(B)$的算术平均值。

在前三步中，我们已从概率的基本性质出发，推导出对于任意事件$A$和$B$，总有$P(AB) \leq \frac{P(A)+P(B)}{2}$。现在将这一结果与四个选项逐一对照： - 选项(A)：$P(AB) \geq \frac{P(A)+P(B)}{2}$。这与推导出的不等式方向相反，故排除。 - 选项(B)：$P(AB) \leq \frac{P(A)P(B)}{2}$。推导结果中分母为$P(A)+P(B)$，而非$P(A)P(B)$，且$P(A)P(B)$与$P(A)+P(B)$的大小关系不确定，故不能保证该不等式恒成立，排除。 - 选项(C)：$P(AB) \leq \frac{P(A)+P(B)}{2}$。这正是我们推导出的结论，因此正确。 - 选项(D)：$P(AB) \geq \frac{P(A)P(B)}{2}$。与选项(B)类似，无法由已知结论推出，且方向相反，排除。 因此，正确选项为(C)。 最终答案验证：取特殊情形验证，例如当$A$与$B$互斥时，$P(AB)=0$，$\frac{P(A)+P(B)}{2} \geq 0$，不等式成立；当$A=B$时，$P(AB)=P(A)$，$\frac{P(A)+P(B)}{2}=P(A)$，等号成立。故结论一致。