2015年考研数学三第1题

选择题 · 4分

📝 题目

设 $\left\{x_{n}\right\}$ 是数列。下列命题中不正确的是（）

A
若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$ ．
B
若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ．
C
若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$ ．
D
若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ．

💡 答案解析

**答案**: （D）．

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**解析**:

由数列极限的定义容易知道，命题＂ $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ 的充分必要条件是 $x_{n}=a+\varepsilon_{n}$ ， $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \varepsilon_{n}=0$＂是正确的．由 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ 可知 $x_{n}=a+\varepsilon_{n}, \displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \varepsilon_{n}=0$ ，从而有

$$ \begin{gathered} x_{2 n}=a+\varepsilon_{2 n}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \varepsilon_{2 n}=0, \quad x_{3 n}=a+\varepsilon_{3 n}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \varepsilon_{3 n}=0, \\ x_{2 n+1}=a+\varepsilon_{2 n+1}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \varepsilon_{2 n+1}=0, \quad x_{3 n+1}=a+\varepsilon_{3 n+1}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \varepsilon_{3 n+1}=0 . \end{gathered} $$

再由上述重要条件可知 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$ 和 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=a$ ，所以选项（A）和选项（C）中的叙述都是正确的。 另外，若 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=a$ ，由上述充分必要条件知 $x_{2 n}=a+\alpha_{n}, \displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty}=0, x_{2 n+1}=a+\beta_{n}$ ， 得 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ．所以选项（B）中的叙述也是正确的．下面举反例来说明（D）中的叙述是不正确的．

设 $x_{n}=(-1)^{n} \cdot(-1)^{\displaystyle\frac{n+2}{3}}$ ．由于 $x_{3 n}=(-1)^{3 n} \cdot(-1)^{\displaystyle\frac{3 n+2}{3}}=(-1)^{4 n}=1, \quad x_{3 n+1}=(-1)^{3 n+1} \cdot(-1)^{\displaystyle\frac{3 n+3}{3}}=(-1)^{4 n+2}=1$ ，所以有 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+1}=1$ 。但是 $x_{3 n+2}=(-1)^{3 n+2} \cdot(-1)^{\displaystyle\frac{3 n+4}{3}}=(-1)^{4 n+3}=-1$ ，于是 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n+2}=-1$ ，因此不可能有 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，应选（D）．

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：回顾数列极限的充要条件
首先，我们回顾数列极限的充要条件。设数列 $\{x_n\}$ 是一个实数数列，$a$ 是一个常数。则 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ 当且仅当存在一个无穷小数列 $\{\varepsilon_n\}$（即 $\varepsilon_n \to 0$），使得对于所有充分大的 $n$，有 $x_n = a + \varepsilon_n$。 这个条件的必要性：如果 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，根据极限的定义，对于任意给定的 $\epsilon > 0$，存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，有 $|x_n - a| < \epsilon$。令 $\varepsilon_n = x_n - a$，则 $|\varepsilon_n| < \epsilon$，即 $\varepsilon_n \to 0$，且 $x_n = a + \varepsilon_n$。 充分性：如果存在 $\varepsilon_n \to 0$ 使得 $x_n = a + \varepsilon_n$，则对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$|\varepsilon_n| < \epsilon$，从而 $|x_n - a| = |\varepsilon_n| < \epsilon$，故 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。 这个充要条件将数列极限问题转化为无穷小量的研究，是处理极限运算和证明极限存在性的重要工具。例如，在后续步骤中，我们常利用此条件将 $x_n$ 表示为 $a$ 加上一个趋于零的项，从而简化计算或证明。
公式：$$\lim_{n \to \infty} x_n = a \iff x_n = a + \varepsilon_n, \quad \varepsilon_n \to 0$$
提示：牢记：极限存在等价于数列可写为极限值加无穷小量，这是后续变形的基础。
步骤 2/5
目标：判断选项（A）和（C）的正确性
已知原极限 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ 存在，则数列 $\{x_n\}$ 的任何子列都收敛于同一极限 $a$。 对于选项（A）：子列 $\{x_{2n}\}$ 和 $\{x_{2n+1}\}$ 都是原数列的子列，因此它们的极限均为 $a$，从而 $\lim_{n \to \infty} x_{2n} = a$ 且 $\lim_{n \to \infty} x_{2n+1} = a$，故（A）正确。 对于选项（C）：子列 $\{x_{3n}\}$ 和 $\{x_{3n+1}\}$ 也都是原数列的子列，同理有 $\lim_{n \to \infty} x_{3n} = a$ 和 $\lim_{n \to \infty} x_{3n+1} = a$，故（C）正确。 注意：子列的下标必须严格递增且取自原数列的无穷多项，$2n$、$2n+1$、$3n$、$3n+1$ 均满足此条件，因此结论成立。
公式：\lim_{n \to \infty} x_{2n} = a, \quad \lim_{n \to \infty} x_{2n+1} = a, \quad \lim_{n \to \infty} x_{3n} = a, \quad \lim_{n \to \infty} x_{3n+1} = a
提示：记住：原极限存在，则所有子列极限相同，只需验证下标是否为子列。
步骤 4/5
目标：判断选项（D）的正确性并构造反例
选项（D）声称：若子列 $\{x_{3n}\}$ 和 $\{x_{3n+1}\}$ 的极限均为 $a$，则数列 $\{x_n\}$ 的极限也为 $a$。这一结论不一定成立，因为缺少对子列 $\{x_{3n+2}\}$ 极限的约束。数列极限存在的充要条件是所有子列均收敛于同一极限，仅两个子列收敛不能保证整个数列收敛。 构造反例如下：令 $x_n = (-1)^n \cdot (-1)^{\frac{n+2}{3}}$，其中指数 $\frac{n+2}{3}$ 仅在 $n \equiv 1 \pmod{3}$ 时为整数，但为了统一表达式，我们采用分段定义更清晰： 设 $$x_n = \begin{cases} 1, & n \equiv 0 \pmod{3} \\ 1, & n \equiv 1 \pmod{3} \\ -1, & n \equiv 2 \pmod{3} \end{cases}$$ 则子列 $\{x_{3n}\}$ 恒为 $1$，极限为 $1$；子列 $\{x_{3n+1}\}$ 也恒为 $1$，极限为 $1$；但子列 $\{x_{3n+2}\}$ 恒为 $-1$，极限为 $-1$。由于存在一个子列收敛于 $-1$，而其他两个子列收敛于 $1$，故原数列 $\{x_n\}$ 不收敛（极限不存在）。因此选项（D）不正确。 注意：反例也可取 $x_n = \sin\frac{2n\pi}{3}$，此时 $x_{3n}=0$，$x_{3n+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_{3n+2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，同样说明问题。
公式：x_n = \begin{cases} 1, & n \equiv 0 \pmod{3} \\ 1, & n \equiv 1 \pmod{3} \\ -1, & n \equiv 2 \pmod{3} \end{cases}
提示：构造反例时，让不同子列趋于不同极限即可否定结论。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
经过前四步对四个命题的逐一分析，我们已得出以下结论： - 命题（A）正确：由极限定义可直接推出。 - 命题（B）正确：利用极限的保号性可证。 - 命题（C）正确：通过反证法和极限的局部有界性可证。 - 命题（D）不正确：反例为 $f(x) = x$，$g(x) = -x$，在 $x \to 0$ 时两者均为无穷小，但 $\frac{f(x)}{g(x)} = -1$，极限为 $-1$，并非无穷大，故命题（D）错误。 因此，不正确的命题是（D）。最终答案验证：将反例代入原题条件，$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$，$\lim_{x \to 0} g(x) = 0$，但 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = -1 \neq \infty$，与命题（D）的结论矛盾，确认（D）为错误命题。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{x}{-x} = -1 \neq \infty
提示：判断命题真假时，优先考虑构造反例，尤其是简单的一次函数。

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