2017年考研数学三第10题

首先，考虑原非齐次差分方程对应的齐次方程：$y_{t+1} - 2y_t = 0$。这是一个一阶常系数线性齐次差分方程。我们设其解的形式为 $y_t = r^t$，代入齐次方程得：$r^{t+1} - 2r^t = 0$，即 $r^t(r - 2) = 0$。由于 $r^t \neq 0$，因此得到特征方程 $r - 2 = 0$，解得特征根 $r = 2$。根据一阶齐次差分方程的通解公式，齐次方程的通解为 $y_t^{(h)} = C \cdot 2^t$，其中 $C$ 为任意常数。该通解描述了系统在无外部驱动下的自由运动规律。

首先，回顾第一步中已求出的齐次方程的通解形式。原非齐次线性差分方程对应的齐次方程为 $y_{t+1} - 2y_t = 0$，其特征方程为 $\lambda - 2 = 0$，解得特征根 $\lambda = 2$。因此齐次通解为 $y_t^{(h)} = C \cdot 2^t$，其中 $C$ 为任意常数。 现在考虑非齐次项 $f(t) = 2^t$。由于 $2^t$ 恰好与齐次解中的基函数 $2^t$ 形式相同，即非齐次项与特征根对应的指数函数重合，此时若直接设特解为 $y^* = a \cdot 2^t$，代入方程后左边与右边会相互抵消，无法确定系数 $a$。这是因为 $2^t$ 已经是齐次解的一部分，代入齐次方程左端恒为零，无法匹配非齐次项。 根据线性差分方程特解设定的“共振”原则，当非齐次项与齐次解中的某一项形式相同时，需要在特解中乘以 $t$ 的幂次（即乘以 $t$）以消除重合。这里非齐次项 $2^t$ 与齐次解中的 $2^t$ 完全一致，因此特解应设为 $y^* = a \cdot t \cdot 2^t$，其中 $a$ 为待定常数。 将 $y^* = a \cdot t \cdot 2^t$ 代入原非齐次方程 $y_{t+1} - 2y_t = 2^t$ 中，可确定 $a$ 的值。代入过程如下： $$y_{t+1}^* = a \cdot (t+1) \cdot 2^{t+1} = 2a(t+1) \cdot 2^t,$$ $$y_t^* = a \cdot t \cdot 2^t.$$ 于是 $$y_{t+1}^* - 2y_t^* = 2a(t+1) \cdot 2^t - 2a t \cdot 2^t = 2a \cdot 2^t = 2^{t+1} a.$$ 令其等于 $2^t$，得 $2^{t+1} a = 2^t$，解得 $a = \frac{1}{2}$。因此特解为 $y^* = \frac{1}{2} t \cdot 2^t$。 综上，本步骤的核心是识别非齐次项与齐次解的重合情况，并正确设置特解形式为 $y^* = a \cdot t \cdot 2^t$，为后续代入方程求解系数做好准备。

我们已经设特解形式为 $y^* = a \cdot t \cdot 2^t$，其中 $a$ 为待定系数。现在将其代入原非齐次差分方程 $y_{t+1} - 2y_t = 2^t$ 中，以确定 $a$ 的值。 首先计算 $y^*_{t+1}$：将 $t$ 替换为 $t+1$，得 $$y^*_{t+1} = a \cdot (t+1) \cdot 2^{t+1}.$$ 代入方程左边： $$y^*_{t+1} - 2y^*_t = a(t+1)2^{t+1} - 2 \cdot a t 2^t.$$ 注意到 $2 \cdot a t 2^t = a t \cdot 2 \cdot 2^t = a t \cdot 2^{t+1}$，因此左边可合并为： $$a(t+1)2^{t+1} - a t 2^{t+1} = a \cdot 2^{t+1} \cdot [(t+1) - t] = a \cdot 2^{t+1}.$$ 方程右边为 $2^t$，于是得到等式： $$a \cdot 2^{t+1} = 2^t.$$ 两边同时除以 $2^t$（$2^t > 0$），得 $$a \cdot 2 = 1,$$ 所以 $$a = \frac{1}{2}.$$ 因此，特解为 $y^* = \frac{1}{2} t \cdot 2^t$。

在前三步中，我们已经求出了对应齐次方程的通解 $y_t^{(h)} = C \cdot 2^t$（其中 $C$ 为任意常数），并且通过待定系数法得到了非齐次方程的一个特解 $y_t^* = \frac{1}{2} t \cdot 2^t$。根据线性差分方程解的结构定理，非齐次线性差分方程的通解等于其齐次通解加上一个特解。因此，原非齐次方程的通解为： $$ y_t = y_t^{(h)} + y_t^* = C \cdot 2^t + \frac{1}{2} t \cdot 2^t. $$ 其中 $C$ 为任意常数。为了验证该解的正确性，我们可以将其代入原方程进行检验。设原方程为 $y_{t+1} - 2y_t = 2^t$（此处根据题目背景假设，实际方程形式应参考题目条件）。计算 $y_{t+1} = C \cdot 2^{t+1} + \frac{1}{2} (t+1) \cdot 2^{t+1} = 2C \cdot 2^t + (t+1) \cdot 2^t$，则 $$ y_{t+1} - 2y_t = \left[2C \cdot 2^t + (t+1) \cdot 2^t\right] - 2\left[C \cdot 2^t + \frac{1}{2} t \cdot 2^t\right] = 2C \cdot 2^t + (t+1) \cdot 2^t - 2C \cdot 2^t - t \cdot 2^t = 2^t. $$ 等式成立，说明通解正确。最终答案为 $y_t = C \cdot 2^t + \frac{1}{2} t \cdot 2^t$，其中 $C$ 为任意常数。