2017年考研数学三第11题

根据微观经济学中的成本理论，平均成本 $ar{C}(Q)$ 定义为总成本 $C(Q)$ 与产量 $Q$ 的比值，即 $ar{C}(Q) = \frac{C(Q)}{Q}$。题目已知平均成本函数为 $ar{C}(Q) = 1 + \mathrm{e}^{-Q}$，其中 $Q > 0$。因此，将已知的平均成本表达式代入定义式，得到： $$ \frac{C(Q)}{Q} = 1 + \mathrm{e}^{-Q} $$ 两边同时乘以 $Q$，即可得到总成本 $C(Q)$ 与产量 $Q$ 的关系式： $$ C(Q) = Q \left(1 + \mathrm{e}^{-Q}\right) = Q + Q \mathrm{e}^{-Q} $$ 此关系式将作为后续步骤中求解边际成本和最小平均成本的基础。注意，总成本函数 $C(Q)$ 在 $Q=0$ 处未定义（因为平均成本定义中分母为零），但题目通常考虑 $Q>0$ 的情形。

已知边际成本函数为 $MC(Q)=1+\mathrm{e}^{-Q}-Q\mathrm{e}^{-Q}$，且固定成本为 $0$。总成本函数 $C(Q)$ 与边际成本的关系为 $MC(Q)=\frac{dC(Q)}{dQ}$，因此对边际成本积分可得总成本函数： $$C(Q)=\int MC(Q)\,dQ = \int \left(1+\mathrm{e}^{-Q}-Q\mathrm{e}^{-Q}\right)dQ.$$ 将积分拆分为三部分： $$C(Q)=\int 1\,dQ + \int \mathrm{e}^{-Q}\,dQ - \int Q\mathrm{e}^{-Q}\,dQ.$$ 计算各项积分： 1. $\int 1\,dQ = Q$。 2. $\int \mathrm{e}^{-Q}\,dQ = -\mathrm{e}^{-Q}$。 3. 对于 $\int Q\mathrm{e}^{-Q}\,dQ$，使用分部积分法。令 $u=Q$，$dv=\mathrm{e}^{-Q}dQ$，则 $du=dQ$，$v=-\mathrm{e}^{-Q}$。于是 $$\int Q\mathrm{e}^{-Q}\,dQ = -Q\mathrm{e}^{-Q} - \int (-\mathrm{e}^{-Q})\,dQ = -Q\mathrm{e}^{-Q} + \int \mathrm{e}^{-Q}\,dQ = -Q\mathrm{e}^{-Q} - \mathrm{e}^{-Q}.$$ 因此 $$C(Q)=Q - \mathrm{e}^{-Q} - \left(-Q\mathrm{e}^{-Q} - \mathrm{e}^{-Q}\right) + K = Q - \mathrm{e}^{-Q} + Q\mathrm{e}^{-Q} + \mathrm{e}^{-Q} + K = Q + Q\mathrm{e}^{-Q} + K,$$ 其中 $K$ 为积分常数。由于固定成本为 $0$，即 $C(0)=0$，代入得 $0=0+0+K$，故 $K=0$。因此总成本函数为 $$C(Q)=Q+Q\mathrm{e}^{-Q}=Q(1+\mathrm{e}^{-Q}).$$ 此即为题目所给结果。

已知总成本函数为 $C(Q)=Q+Q\mathrm{e}^{-Q}$，边际成本定义为总成本对产量 $Q$ 的导数，即 $C'(Q)$。 首先，将总成本函数拆分为两项之和：$C(Q)=Q+Q\mathrm{e}^{-Q}$。根据导数的线性性质，有 $C'(Q)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Q}(Q)+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Q}(Q\mathrm{e}^{-Q})$。 第一项 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}Q}(Q)=1$。 第二项 $Q\mathrm{e}^{-Q}$ 是乘积形式，应用乘积法则：$(u\cdot v)'=u'v+uv'$，其中 $u=Q$，$v=\mathrm{e}^{-Q}$。 计算 $u'=1$，$v'=\mathrm{e}^{-Q}\cdot(-1)=-\mathrm{e}^{-Q}$（链式法则）。 因此，$(Q\mathrm{e}^{-Q})' = 1\cdot\mathrm{e}^{-Q}+Q\cdot(-\mathrm{e}^{-Q})=\mathrm{e}^{-Q}-Q\mathrm{e}^{-Q}$。 将两项结果相加：$C'(Q)=1+(\mathrm{e}^{-Q}-Q\mathrm{e}^{-Q})=1+\mathrm{e}^{-Q}(1-Q)$，即 $C'(Q)=1+(1-Q)\mathrm{e}^{-Q}$。 最终得到边际成本函数为 $C'(Q)=1+(1-Q)\mathrm{e}^{-Q}$。 验证：当 $Q=0$ 时，$C'(0)=1+(1-0)\mathrm{e}^{0}=1+1=2$，符合边际成本的初始值；当 $Q\to+\infty$ 时，$(1-Q)\mathrm{e}^{-Q}\to0$，边际成本趋近于1，符合经济意义。