2017年考研数学三第13题

已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三维列向量，$A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵。题目中需要处理 $A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$ 这三个向量。根据矩阵乘法的定义，将这三个列向量按列并排放置，形成一个 $3 \times 3$ 矩阵：$(A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3)$。由于矩阵乘法满足分配律和结合律，我们可以将矩阵 $A$ 提取到左边，即： $$ (A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3) = A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3). $$ 这里 $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 是由三个列向量组成的 $3 \times 3$ 矩阵。这个等式成立是因为 $A$ 乘以一个矩阵时，结果矩阵的第 $j$ 列恰好等于 $A$ 乘以原矩阵的第 $j$ 列。因此，我们成功地将向量组 $A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$ 表示为矩阵 $A$ 与矩阵 $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 的乘积。这一步骤为后续利用矩阵秩的性质或行列式性质解决问题奠定了基础。

已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。根据线性代数理论，对于 $n$ 个 $n$ 维向量，它们线性无关当且仅当由它们构成的矩阵是可逆矩阵。具体来说，构造矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，即 $A$ 是以 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为列向量的 $3 \times 3$ 矩阵。由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则矩阵 $A$ 的列向量组线性无关，从而 $A$ 的秩等于列数 $3$，即 $\mathrm{rank}(A) = 3$。对于方阵而言，满秩等价于可逆，因此 $A$ 是可逆矩阵。可逆矩阵的一个重要性质是存在逆矩阵 $A^{-1}$，满足 $A^{-1}A = I$（单位矩阵）。这一结论将在后续步骤中用于化简表达式或求解未知参数。

本步骤的核心是应用矩阵秩的一个重要性质：可逆矩阵左乘或右乘一个矩阵不改变该矩阵的秩。具体到本题，已知矩阵 $A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，且 $\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)$ 是三个线性无关的列向量，它们构成一个 $3 \times 3$ 的可逆矩阵 $P = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$。我们需要计算向量组 $A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$ 的秩。 首先，将这三个向量按列排成矩阵： $$(A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3) = A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = AP.$$ 由于 $P$ 是可逆矩阵（因为列向量线性无关，且为方阵），根据秩的性质，左乘可逆矩阵不改变矩阵的秩，即 $$\operatorname{rank}(AP) = \operatorname{rank}(A).$$ 因此，向量组 $A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$ 的秩等于矩阵 $A$ 的秩。 接下来，我们需要确定 $A$ 的秩。由题目条件，$A$ 的每行元素之和为 $0$，即 $A$ 乘以全1向量 $(1,1,1)^T$ 得到零向量，说明 $(1,1,1)^T$ 是 $A$ 的一个非零解，因此 $A$ 的零空间维数至少为 $1$，从而 $\operatorname{rank}(A) \le 2$。同时，由于 $A$ 不是零矩阵（否则每行和为零但矩阵为零矩阵的情况可排除，但题目未明确说明，通常隐含 $A$ 非零），且 $A$ 的每一行元素之和为零，意味着 $A$ 的列向量线性相关，但行向量不一定全相关。实际上，由 $A$ 的每行和为零可推出 $A$ 的行向量线性相关（因为存在非零向量 $(1,1,1)$ 使得行向量与它的内积为零，但行向量本身不一定相关）。更直接地，考虑 $A$ 的秩：因为 $A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，且有一个非零的零空间向量，所以秩最多为 $2$。若 $A$ 的秩为 $2$，则 $A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$ 的秩也为 $2$；若 $A$ 的秩为 $1$，则秩为 $1$；若 $A$ 为零矩阵，则秩为 $0$。但题目通常隐含 $A$ 非零且秩为 $2$（因为每行和为零且行向量线性无关的情况不可能，但需结合后续步骤）。本步骤仅完成秩的转化，具体数值需结合后续条件。 因此，本步骤的关键结论是： $$\operatorname{rank}(A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3) = \operatorname{rank}(A).$$

已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。为了求矩阵的秩，我们对其进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵。 第一步：将第1行乘以(-1)加到第3行，即 $r_3 - r_1 \to r_3$，得到： $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ 第二步：将第2行乘以(-1)加到第3行，即 $r_3 - r_2 \to r_3$，得到： $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 此时矩阵已化为行阶梯形，非零行的行数为2，因此矩阵 $A$ 的秩为 $r(A)=2$。 注意：行变换过程中，我们只进行了行之间的加减运算，没有进行倍乘或交换行，这些操作均不改变矩阵的秩。最终得到的行阶梯形矩阵中，第一行和第二行有主元（分别为第1列和第2列），第三行全为零行，故秩为2。

由前一步得到的行阶梯形矩阵可知，非零行的行数为2，因此矩阵$A$的秩$r(A)=2$。根据矩阵秩的性质，对于任意向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$，向量组$A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$的秩不超过$r(A)$，且当$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关时，该向量组的秩等于$r(A)$。此处$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$为三维单位坐标向量，显然线性无关，故向量组$A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$的秩等于$r(A)=2$。因此，最终答案为2。