2017年考研数学三第14题

根据概率分布的基本性质，一个离散型随机变量的所有可能取值的概率之和必须等于1。本题中，随机变量$X$的分布律为：$P(X=1)=\frac{1}{2}$，$P(X=2)=a$，$P(X=3)=b$，且其他取值的概率均为0。因此，所有概率之和为： $$ \frac{1}{2} + a + b = 1. $$ 将等式两边同时减去$\frac{1}{2}$，得到： $$ a + b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. $$ 这就是由概率归一性所建立的第一个方程，它反映了$a$与$b$之间的线性关系。后续步骤将利用其他条件（如期望、方差等）建立第二个方程，从而联立求解$a$和$b$。

根据离散型随机变量数学期望的定义，对于随机变量$X$，其可能取值为$-2,1,3$，对应的概率分别为$\frac{1}{2}, a, b$，且满足概率之和为$1$，即$\frac{1}{2}+a+b=1$。数学期望$E(X)$的计算公式为： $$E(X)=(-2)\times P(X=-2)+1\times P(X=1)+3\times P(X=3)$$ 代入已知概率值得： $$E(X)=(-2)\times\frac{1}{2}+1\times a+3\times b=-1+a+3b$$ 题目条件给出$E(X)=0$，因此得到方程： $$-1+a+3b=0$$ 移项整理得： $$a+3b=1$$ 此方程即为期望方程，它将未知参数$a$和$b$联系起来。结合概率和为$1$的方程$\frac{1}{2}+a+b=1$（即$a+b=\frac{1}{2}$），可以进一步求解$a$和$b$的具体数值。

根据前两步得到的两个方程： $$a + b = \frac{1}{2} \quad \text{(1)}$$ $$a + 3b = 1 \quad \text{(2)}$$ 我们使用消元法求解。将方程(2)减去方程(1)，得到： $$(a + 3b) - (a + b) = 1 - \frac{1}{2}$$ 化简得： $$2b = \frac{1}{2}$$ 因此： $$b = \frac{1}{4}$$ 将$b = \frac{1}{4}$代入方程(1)： $$a + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$ 解得： $$a = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$ 所以方程组的解为： $$a = \frac{1}{4}, \quad b = \frac{1}{4}$$ 验证：将$a = \frac{1}{4}, b = \frac{1}{4}$代入方程(1)：$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$，成立；代入方程(2)：$\frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$，成立。解正确。

根据离散型随机变量函数的数学期望公式，二阶原点矩$E(X^2)$等于随机变量$X$的取值平方与其对应概率乘积之和。已知随机变量$X$的分布律为：$P(X=-2)=\frac{1}{2}$，$P(X=1)=\frac{1}{4}$，$P(X=3)=\frac{1}{4}$。因此，计算过程如下： 首先，分别计算每个取值平方后的值： - 当$X=-2$时，$X^2=(-2)^2=4$，对应概率$\frac{1}{2}$； - 当$X=1$时，$X^2=1^2=1$，对应概率$\frac{1}{4}$； - 当$X=3$时，$X^2=3^2=9$，对应概率$\frac{1}{4}$。 然后，将每个平方值乘以对应的概率并求和： $$ E(X^2)=(-2)^2\times\frac{1}{2}+1^2\times\frac{1}{4}+3^2\times\frac{1}{4}=4\times\frac{1}{2}+1\times\frac{1}{4}+9\times\frac{1}{4}. $$ 计算各项： - $4\times\frac{1}{2}=2$； - $1\times\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$； - $9\times\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$。 求和得： $$ E(X^2)=2+\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=2+\frac{10}{4}=2+\frac{5}{2}=2+2.5=\frac{9}{2}. $$ 因此，二阶原点矩$E(X^2)=\frac{9}{2}$。

方差是衡量随机变量与其数学期望偏离程度的统计量，计算公式为 $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$。在前面的步骤中，我们已经计算出 $E(X)=0$ 和 $E(X^2)=\frac{9}{2}$。将这两个结果代入方差公式： $$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 = \frac{9}{2} - 0^2 = \frac{9}{2}.$$ 因此，随机变量 $X$ 的方差为 $\frac{9}{2}$。 **最终答案验证**： - 方差 $D(X)=\frac{9}{2}$ 是一个非负数，符合方差的非负性。 - 由于 $E(X)=0$，方差 $D(X)=E(X^2)$，而 $E(X^2)=\frac{9}{2}$ 与计算结果一致。 - 该结果与题目中其他步骤的推导完全吻合，逻辑自洽。 至此，本题全部求解完成。