📋 详细解题步骤
目标：变量代换化简积分
首先，我们面对的是积分 $\int_0^x t \sqrt{x-t} \, dt$，但根据题目给定的步骤目标，我们需要对积分 $\int_0^x \sqrt{x-t} \, e^{t} \, dt$ 进行变量代换。令 $u = x - t$，则 $t = x - u$，并且 $dt = -du$。当 $t = 0$ 时，$u = x$；当 $t = x$ 时，$u = 0$。因此积分变为：
$$
\int_{t=0}^{t=x} \sqrt{x-t} \, e^{t} \, dt = \int_{u=x}^{u=0} \sqrt{u} \, e^{x-u} \, (-du) = \int_{u=0}^{u=x} \sqrt{u} \, e^{x-u} \, du.
$$
这里我们交换了积分上下限，去掉了负号。接着，将 $e^{x-u}$ 拆分为 $e^x \cdot e^{-u}$，由于 $e^x$ 与积分变量 $u$ 无关，可以提到积分号外：
$$
\int_0^x \sqrt{u} \, e^{x-u} \, du = e^x \int_0^x \sqrt{u} \, e^{-u} \, du.
$$
这样，原积分被化简为 $e^x \int_0^x u^{1/2} e^{-u} \, du$，为后续步骤（如使用伽马函数或分部积分）奠定了基础。
公式：$$\int_0^x \sqrt{x-t} \, e^{t} \, dt = e^x \int_0^x \sqrt{u} \, e^{-u} \, du$$
提示：代换后注意积分限的变化，并利用指数性质分离常数因子。
目标：代入原极限并提取因子
原极限表达式为：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x \int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du}{\sqrt{x^3}}.
$$
首先，将分子中的 $e^x$ 看作一个因子，可以将其从极限符号中分离出来，因为当 $x \to 0^+$ 时，$e^x \to 1$，且 $e^x$ 在 $x=0$ 处连续。于是有：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x \int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du}{\sqrt{x^3}} = \left(\lim_{x \to 0^+} e^x\right) \cdot \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du}{\sqrt{x^3}} = 1 \cdot \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du}{\sqrt{x^3}}.
$$
因此，原极限简化为：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du}{x^{3/2}}.
$$
这里我们利用了 $\sqrt{x^3} = x^{3/2}$ 将分母写成幂函数形式，便于后续使用洛必达法则或等价无穷小分析。注意，此时极限形式为 $\frac{0}{0}$ 型（因为当 $x \to 0^+$ 时，积分上限趋于 $0$，积分值也趋于 $0$，分母 $x^{3/2} \to 0$），满足应用洛必达法则的条件。
提取因子 $e^x$ 并利用其极限为 $1$ 是简化计算的关键一步，它避免了在后续求导过程中处理乘积的复杂形式。
公式：$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x \int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du}{\sqrt{x^3}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x \sqrt{u} e^{-u} \, du}{x^{3/2}}
$$
提示：提取极限为1的因子可简化计算，注意检查是否为0/0型以便后续使用洛必达法则。
目标：应用洛必达法则
由于当$x \to 0^+$时，分子$\int_0^x \sqrt{t} e^{-t} \, dt$趋于0，分母$x^{3/2}$也趋于0，满足$\frac{0}{0}$型未定式，因此可以应用洛必达法则。对分子求导，由变上限积分求导公式得：$\frac{d}{dx} \int_0^x \sqrt{t} e^{-t} \, dt = \sqrt{x} e^{-x}$。对分母$x^{3/2}$求导得：$\frac{d}{dx} x^{3/2} = \frac{3}{2} x^{1/2}$。于是原极限化为：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x} e^{-x}}{\frac{3}{2} x^{1/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-x}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \lim_{x \to 0^+} e^{-x}.$$
由于$e^{-x}$在$x=0$处连续，代入$x=0$得$e^0=1$，因此极限值为$\frac{2}{3}$。注意：在化简过程中，分子分母中的$x^{1/2}$约去，这是关键的一步。
公式：$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x \sqrt{t} e^{-t} \, dt}{x^{3/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x} e^{-x}}{\frac{3}{2} x^{1/2}} = \frac{2}{3}$$
提示：应用洛必达法则前务必确认分子分母是否同时趋于0或无穷，并正确使用变上限积分求导公式。
目标：化简并计算极限
在完成前面的等价无穷小替换和化简之后，我们得到极限表达式：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x} e^{-x}}{\frac{3}{2} \sqrt{x}}.
$$
首先，分子和分母中都含有因子 $\sqrt{x}$，且 $x \to 0^+$ 时 $\sqrt{x} \neq 0$，因此可以直接约去 $\sqrt{x}$：
$$
\frac{\sqrt{x} e^{-x}}{\frac{3}{2} \sqrt{x}} = \frac{e^{-x}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} e^{-x}.
$$
于是原极限化为：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3} e^{-x}.
$$
由于 $e^{-x}$ 在 $x=0$ 处连续，且 $e^0 = 1$，所以直接代入得：
$$
\frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}.
$$
因此，所求极限的值为 $\frac{2}{3}$。
**最终答案验证**：
我们可以通过数值验证来确认结果的合理性。取 $x = 0.01$，原极限中的表达式（未化简前）近似为：
$$
\frac{\sqrt{0.01} e^{-0.01}}{\frac{3}{2} \sqrt{0.01}} = \frac{0.1 \times 0.99005}{1.5 \times 0.1} = \frac{0.099005}{0.15} \approx 0.66003,
$$
而 $\frac{2}{3} \approx 0.66667$，两者非常接近，且随着 $x$ 趋近于 $0$，数值会越来越接近 $\frac{2}{3}$，验证了计算结果的正确性。
公式：\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x} e^{-x}}{\frac{3}{2} \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3} e^{-x} = \frac{2}{3}
提示：约分后直接代入连续函数求值，注意 $e^0=1$。