2017年考研数学三第16题

首先，根据题目给出的积分区域 $D$：$0 \leq x < +\infty$，$0 \leq y \leq \sqrt{x}$，以及被积函数 $\frac{y^3}{(1+x^2+y^4)^2}$，我们需要将二重积分 $\iint_D \frac{y^3}{(1+x^2+y^4)^2} \, dx \, dy$ 化为累次积分。 由于区域 $D$ 由 $x$ 的取值范围和 $y$ 关于 $x$ 的上下限描述，我们选择先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。具体地，对于每一个固定的 $x \in [0, +\infty)$，$y$ 从 $0$ 变化到 $\sqrt{x}$。因此，累次积分的形式为： $$ \int_{0}^{\infty} dx \int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{y^3}{(1+x^2+y^4)^2} \, dy. $$ 注意：这里 $dx$ 写在前面表示先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分，这是常见的写法。在后续步骤中，我们将先计算内层关于 $y$ 的积分，再计算外层关于 $x$ 的积分。

当前步骤需要对二重积分中的内层积分（关于$y$）进行变量代换。原积分形式为： $$ \int_{0}^{+\infty} dx \int_{0}^{x} \frac{y^3}{(1+x^2+y^2)^2} dy. $$ 观察被积函数，分子为$y^3$，分母含有$y^2$项，因此考虑令$t = y^2$，则$dt = 2y\,dy$，即$y\,dy = \frac{1}{2}dt$。同时，$y^3 = y^2 \cdot y = t \cdot y$，因此$y^3\,dy = t \cdot y\,dy = t \cdot \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2} t\,dt$。 积分限变化：当$y=0$时，$t=0$；当$y=x$时，$t=x^2$。于是内层积分变为： $$ \int_{0}^{x} \frac{y^3}{(1+x^2+y^2)^2} dy = \int_{0}^{x^2} \frac{\frac{1}{2}t}{(1+x^2+t)^2} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{x^2} \frac{t}{(1+x^2+t)^2} dt. $$ 代入原二重积分，得到： $$ \int_{0}^{+\infty} dx \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{x^2} \frac{t}{(1+x^2+t)^2} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} dx \int_{0}^{x^2} \frac{t}{(1+x^2+t)^2} dt. $$ 注意：题目步骤概要中给出的积分形式为$\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} dx \int_{0}^{x} \frac{t}{1+x^2+t^2} dt$，但此处根据代换结果应为$\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} dx \int_{0}^{x^2} \frac{t}{(1+x^2+t)^2} dt$。请以实际推导为准，后续步骤可能进一步调整积分次序或变量。

我们需要计算内层积分： $$ \int_0^x \frac{t}{(1+x^2+t^2)^2} \, dt. $$ 注意在积分过程中，$x$ 被视为常数。令 $a = 1 + x^2$，则积分变为： $$ \int_0^x \frac{t}{(a + t^2)^2} \, dt. $$ 利用基本积分公式： $$ \int \frac{t}{(a + t^2)^2} \, dt = -\frac{1}{2(a + t^2)} + C. $$ （该公式可通过换元 $u = a + t^2$，$du = 2t\, dt$ 验证。） 代入上下限 $t = x$ 和 $t = 0$： $$ \left[ -\frac{1}{2(a + t^2)} \right]_{0}^{x} = -\frac{1}{2(a + x^2)} + \frac{1}{2(a + 0^2)} = \frac{1}{2a} - \frac{1}{2(a + x^2)}. $$ 将 $a = 1 + x^2$ 代回： $$ \frac{1}{2(1 + x^2)} - \frac{1}{2(1 + x^2 + x^2)} = \frac{1}{2(1 + x^2)} - \frac{1}{2(1 + 2x^2)}. $$ 因此，内层积分的结果为： $$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + 2x^2} \right). $$

本步骤的目标是计算第一个反常积分 $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx$。这是一个典型的无穷限反常积分，被积函数 $\frac{1}{1+x^2}$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续且非负。根据反常积分的定义，我们需要先计算有限区间上的定积分，再取极限： $$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} \frac{1}{1+x^2} \, dx.$$ 注意到 $\frac{1}{1+x^2}$ 的原函数是 $\arctan x$，因为 $\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$。因此， $$\int_{0}^{b} \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x \Big|_{0}^{b} = \arctan b - \arctan 0.$$ 由于 $\arctan 0 = 0$，所以上式等于 $\arctan b$。现在取极限 $b \to +\infty$： $$\lim_{b \to +\infty} \arctan b = \frac{\pi}{2}.$$ 因此， $$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{2}.$$ 该积分收敛，且值为 $\frac{\pi}{2}$。

本步骤需要计算第二个反常积分 $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+2x^2} \, dx$。这是一个在区间 $[0, \infty)$ 上的反常积分，被积函数在 $x \to \infty$ 时趋于 $0$，且分母 $1+2x^2$ 在 $[0, \infty)$ 上恒正，因此积分收敛。为了求解该积分，我们采用变量代换法。令 $u = \sqrt{2} \, x$，则 $x = \frac{u}{\sqrt{2}}$，从而 $dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$。当 $x = 0$ 时，$u = 0$；当 $x \to \infty$ 时，$u \to \infty$。将代换代入原积分： $$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+2x^2} \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+2\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2} \cdot \frac{du}{\sqrt{2}} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+2\cdot \frac{u^2}{2}} \cdot \frac{du}{\sqrt{2}} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{\sqrt{2}}. $$ 将常数因子 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 提到积分号外，得到： $$ \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+u^2} \, du. $$ 现在，积分 $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+u^2} \, du$ 是标准形式，其原函数为 $\arctan u$。因此： $$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+u^2} \, du = \lim_{b \to \infty} \left[ \arctan u \right]_{0}^{b} = \lim_{b \to \infty} \arctan b - \arctan 0 = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}. $$ 所以，原积分的结果为： $$ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+2x^2} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}. $$ 至此，第二个反常积分计算完成。

在前一步中，我们已经将原积分化简为： $$\text{原积分} = \frac{1}{4} \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\pi}{2} \right]$$ 现在进行合并计算。首先提取公因子 $\frac{\pi}{2}$： $$\text{原积分} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$ 计算系数乘积：$\frac{1}{4} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}$，因此： $$\text{原积分} = \frac{\pi}{8} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$ 这就是最终结果。为了验证答案的正确性，我们可以检查其合理性：由于被积函数在积分区间内恒正，结果应为正数。$1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 1 - 0.7071 = 0.2929$，乘以 $\frac{\pi}{8} \approx 0.3927$ 得 $0.115$，为正数，符合预期。此外，若将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 有理化，可写为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，则答案也可表示为： $$\frac{\pi}{8} \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi \sqrt{2}}{16}$$ 两种形式等价。至此，原积分计算完成。