2017年考研数学三第17题

首先，观察题目给出的和式： $$ \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}\ln\left(1+\frac{k}{n}\right) $$ 为了将其转化为黎曼和的形式，我们需要提取因子 $\frac{1}{n}$。注意到每一项中的分母是 $n^2$，而分子是 $k$，因此可以将 $\frac{k}{n^2}$ 拆分为 $\frac{1}{n} \cdot \frac{k}{n}$。具体地： $$ \frac{k}{n^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{k}{n} $$ 于是原和式可以改写为： $$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{k}{n} \ln\left(1+\frac{k}{n}\right) $$ 由于因子 $\frac{1}{n}$ 与求和指标 $k$ 无关，可以将其提到求和号外面： $$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \ln\left(1+\frac{k}{n}\right) $$ 至此，我们得到了黎曼和的标准形式：$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$，其中 $f(x) = x \ln(1+x)$，且 $x$ 在区间 $[0,1]$ 上取值（当 $k=1$ 时 $x=1/n \to 0$，当 $k=n$ 时 $x=1$）。因此，该和式在 $n \to \infty$ 时的极限等于定积分 $\int_0^1 x \ln(1+x) \, dx$。

将区间 $[0,1]$ 进行 $n$ 等分，取分点 $x_k = \frac{k}{n}$，$k=0,1,\dots,n$，则每个小区间的长度为 $\Delta x = \frac{1}{n}$。原和式中的通项为 $\frac{k}{n^2}\ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$，可改写为 $\frac{k}{n}\cdot\ln\left(1+\frac{k}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}$。注意到 $\frac{k}{n}=x_k$，$\frac{1}{n}=\Delta x$，因此和式 $\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}\ln\left(1+\frac{k}{n}\right) = \sum_{k=1}^n x_k\ln(1+x_k)\Delta x$。当 $n\to\infty$ 时，该和式的极限即为函数 $f(x)=x\ln(1+x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的定积分，即 $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}\ln\left(1+\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx.$$ 这里取右端点作为代表点，由于函数连续，定积分值与代表点的取法无关。

为了计算定积分 $\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx$，我们准备使用分部积分法。分部积分公式为 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$。观察被积函数 $x\ln(1+x)$，我们选择将 $x$ 与微分结合，即令 $dv = x\,dx$，则 $v = \frac12 x^2$；同时令 $u = \ln(1+x)$，则 $du = \frac{1}{1+x}\,dx$。但为了更方便地应用分部积分，我们先将积分写成 $\int_0^1 \ln(1+x) \cdot x\,dx$，然后注意到 $x\,dx = \frac12 d(x^2)$，因此原积分可化为： $$ \int_0^1 x\ln(1+x)\,dx = \frac12 \int_0^1 \ln(1+x)\,d(x^2). $$ 这一步的实质是将 $x\,dx$ 凑成 $\frac12 d(x^2)$，从而将积分转化为 $\frac12 \int_0^1 \ln(1+x)\,d(x^2)$ 的形式，为下一步应用分部积分做好准备。在下一步中，我们将令 $u = \ln(1+x)$，$dv = d(x^2)$，然后使用分部积分公式。

本步骤执行分部积分。已知上一步得到的结果为： $$ \frac12 \left[ x^2\ln(1+x) \right]_0^1 - \frac12 \int_0^1 \frac{x^2}{1+x} dx $$ 首先计算第一项：代入上限 $x=1$ 得 $1^2\ln(1+1)=1\cdot\ln2=\ln2$；代入下限 $x=0$ 得 $0^2\ln(1+0)=0$。因此： $$ \left[ x^2\ln(1+x) \right]_0^1 = \ln2 - 0 = \ln2 $$ 于是原式化为： $$ \frac12 \ln2 - \frac12 \int_0^1 \frac{x^2}{1+x} dx $$ 至此，分部积分执行完毕，下一步将对积分 $\int_0^1 \frac{x^2}{1+x} dx$ 进行化简计算。

首先，我们需要对被积函数 $\frac{x^2}{1+x}$ 进行化简。通过多项式除法或代数恒等变形，将分子 $x^2$ 除以分母 $1+x$。具体地，我们有： $$ \frac{x^2}{1+x} = \frac{x^2 + x - x}{1+x} = \frac{x(x+1) - x}{1+x} = x - \frac{x}{1+x}. $$ 进一步化简 $\frac{x}{1+x}$： $$ \frac{x}{1+x} = \frac{x+1-1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}. $$ 因此， $$ \frac{x^2}{1+x} = x - \left(1 - \frac{1}{1+x}\right) = x - 1 + \frac{1}{1+x}. $$ 于是，原定积分化为： $$ \int_0^1 \frac{x^2}{1+x} \, dx = \int_0^1 \left( x - 1 + \frac{1}{1+x} \right) dx. $$ 现在逐项积分： 1. $\int_0^1 x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1 = \frac{1}{2}.$ 2. $\int_0^1 (-1) \, dx = -\left. x \right|_0^1 = -1.$ 3. $\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \left. \ln|1+x| \right|_0^1 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2.$ 将三项结果相加： $$ \frac{1}{2} - 1 + \ln 2 = -\frac{1}{2} + \ln 2. $$ 因此，积分结果为 $\ln 2 - \frac{1}{2}$。

将上一步得到的表达式代入计算： $$ \frac12 \ln2 - \frac12 \left( \frac12 -1 + \ln2 \right) $$ 首先，计算括号内的值： $$ \frac12 - 1 + \ln2 = -\frac12 + \ln2 $$ 因此，原式变为： $$ \frac12 \ln2 - \frac12 \left( -\frac12 + \ln2 \right) $$ 去掉括号，注意负号： $$ \frac12 \ln2 - \frac12 \cdot \left(-\frac12\right) - \frac12 \cdot \ln2 = \frac12 \ln2 + \frac14 - \frac12 \ln2 $$ 合并同类项： $$ \left( \frac12 \ln2 - \frac12 \ln2 \right) + \frac14 = 0 + \frac14 = \frac14 $$ 因此，最终结果为 $\frac14$。 验证：将结果代回原积分或方程，满足条件，计算无误。