2017年考研数学三第18题
📝 题目
已知方程 $\displaystyle\frac{1}{\ln (1+x)}-\displaystyle\frac{1}{x}=k$ 在区间 $(0,1)$ 内有实根，确定常数 $k$ 的取值范围．
💡 答案解析
令 $f(x)=\displaystyle\frac{1}{\ln (1+x)}-\displaystyle\frac{1}{x}$ ，
$f^{\prime}(x)=-\displaystyle\frac{1}{(1+x) \ln ^{2}(1+x)}+\displaystyle\frac{1}{x^{2}}=\displaystyle\frac{(1+x) \ln ^{2}(1+x)-x^{2}}{x^{2}(1+x) \ln ^{2}(1+x)}$ ，
令 $g(x)=(1+x) \ln ^{2}(1+x)-x^{2}, \quad g(0)=0$ ，
$g^{\prime}(x)=\ln ^{2}(1+x)+2 \ln (1+x)-2 x, \quad g^{\prime}(0)=0$ ，
$g^{\prime \prime}(x)=\displaystyle\frac{2 \ln (1+x)}{1+x}+\displaystyle\frac{2}{1+x}-2=\displaystyle\frac{2[\ln (1+x)-x]}{1+x}<0$,
由 $\left\{\begin{array}{l}g^{\prime}(0)=0, \\ g^{\prime \prime}(x)<0(0 $$
=\cdots=\left(-\frac{1}{n}\right)\left(-\frac{1}{n-1}\right) \cdots\left(-\frac{1}{2}\right)\left(a_{1}-a_{0}\right)=\frac{(-1)^{n}}{n!},
$$ 于是 $a_{n}=\displaystyle\frac{(-1)^{n}}{n!}+a_{n-1}=\displaystyle\frac{(-1)^{n}}{n!}+\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}+a_{n-2}=\cdots=\displaystyle\sum_{k=2}^{n} \displaystyle\frac{(-1)^{k}}{k!}$ ，
$\left|a_{n}\right| \leqslant \displaystyle\sum_{k=2}^{n} \displaystyle\frac{1}{k!} \leqslant n-1 \leqslant n$,
$\rho=\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leqslant \displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ，故幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径 $R=\displaystyle\frac{1}{\rho} \geqslant 1$ ．
（ II ）$S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, \quad S^{\prime}(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}$, $$
\begin{aligned}
(1-x) S^{\prime}(x) & =(1-x) \sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}-\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n} \\
& =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1) a_{n+1} x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}=a_{1}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(n a_{n}+a_{n-1}\right) x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n} \\
& =a_{1}+\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n} \\
& =\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n} \\
& =\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+1}=x \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=x S(x),
\end{aligned}
$$ 即 $S(x)$ 满足 $(1-x) S^{\prime}(x)-x S(x)=0$ 。
由 $(1-x) S^{\prime}(x)-x S(x)=0$ 得 $S^{\prime}(x)-\left(-1-\displaystyle\frac{1}{x-1}\right) S(x)=0$ ，解得 $$
S(x)=C \mathrm{e}^{-\int\left(1+\frac{1}{x-1}\right) \mathrm{d} x}=\frac{C \mathrm{e}^{-x}}{1-x}
$$ 再由 $S(0)=1$ 得 $C=1$ ，故 $S(x)=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1-x}$ ．
（20）【证明】（I）设 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ ，
因为 $\boldsymbol{A}$ 有三个不同的特征值，所以 $\boldsymbol{A}$ 可以相似对角化，即存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}
\lambda_{1} & & \\
& \lambda_{2} & \\
& & \lambda_{3}
\end{array}\right),
$$ 因为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 两两不同，所以 $r(\boldsymbol{A}) \geqslant 2$ ，
又因为 $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，所以 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，从而 $r(\boldsymbol{A})<3$ ，于是 $r(\boldsymbol{A})=2$ 。
（II）因为 $r(\boldsymbol{A})=2$ ，所以 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 基础解系含一个线性无关的解向量，
由 $\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}, \\ \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\beta}\end{array}\right.$ 得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解为 $$
\boldsymbol{X}=k\left(\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
-1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)(k \text { 为任意常数 }) .
$$