2017年考研数学三第7题

根据事件独立性的定义，两个事件$X$与$Y$相互独立当且仅当$P(XY)=P(X)P(Y)$。本题中，我们需要判断$A\cup B$与$C$是否独立，因此首先需要写出它们独立的定义式。 设$X = A\cup B$，$Y = C$，则$A\cup B$与$C$独立等价于： $$P((A\cup B)C)=P(A\cup B)P(C)$$ 其中$(A\cup B)C$表示事件$A\cup B$与事件$C$同时发生，即$(A\cup B)\cap C$。根据集合运算的分配律，有$(A\cup B)\cap C = (A\cap C)\cup (B\cap C)$，因此上式可进一步写为： $$P((A\cap C)\cup (B\cap C)) = P(A\cup B)P(C)$$ 这一等式是后续步骤中利用已知条件进行化简和判断的基础。注意，这里$P(A\cup B)$和$P(C)$都是已知或可求的概率，而左端的概率需要根据事件$A\cap C$与$B\cap C$的关系（是否互斥等）进一步展开。 因此，本步骤的核心结果就是独立性定义式： $$P((A\cup B)C)=P(A\cup B)P(C)$$

我们需要展开等式左边的概率 $P((A \cup B)C)$。首先，利用事件运算的分配律，将 $(A \cup B)C$ 转化为 $AC \cup BC$。这是因为事件交运算对并运算满足分配律：$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$，通常简记为 $(A \cup B)C = AC \cup BC$。 于是有： $$P((A \cup B)C) = P(AC \cup BC)$$ 接下来，对并事件 $AC \cup BC$ 应用概率的加法公式。对于任意两个事件 $X$ 和 $Y$，有 $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(XY)$。这里令 $X = AC$，$Y = BC$，则 $XY = (AC)(BC) = ABC$（因为 $A \cap C$ 与 $B \cap C$ 的交集为 $A \cap B \cap C$）。 因此： $$P(AC \cup BC) = P(AC) + P(BC) - P(ABC)$$ 综上，我们得到展开结果： $$P((A \cup B)C) = P(AC) + P(BC) - P(ABC)$$ 这一步将原始复杂事件的概率分解为三个较简单事件的概率的线性组合，为后续代入已知条件或进一步化简奠定了基础。

已知事件$A$与$C$独立，因此有$P(AC)=P(A)P(C)$；已知事件$B$与$C$独立，因此有$P(BC)=P(B)P(C)$。将这两个关系代入上一步得到的表达式： $$P((A\cup B)C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)$$ 得到： $$P((A\cup B)C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(ABC)$$ 此时，$P(ABC)$尚未能直接利用独立性化简，因为题目未给出$A$与$B$是否独立，也未给出$A$、$B$、$C$三者是否相互独立。因此，当前化简结果保留$P(ABC)$项，后续步骤需进一步处理该项。

本步骤的目标是将等式右边 $P(A \cup B)P(C)$ 中的 $P(A \cup B)$ 按照概率的加法公式展开。根据概率的加法公式，对于任意两个事件 $A$ 和 $B$，有： $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$ 将此式代入 $P(A \cup B)P(C)$ 中，得到： $$P(A \cup B)P(C) = [P(A) + P(B) - P(AB)] \cdot P(C)$$ 利用乘法对加法的分配律，将 $P(C)$ 乘到括号内的每一项上： $$= P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(AB)P(C)$$ 至此，等式右边已完全展开为三项之和（差）的形式。注意，这里 $P(AB)$ 表示事件 $A$ 与 $B$ 同时发生的概率，$P(AB)P(C)$ 是 $A$ 与 $B$ 同时发生且 $C$ 发生的概率的乘积形式，但一般情况下 $P(AB)P(C) \neq P(ABC)$，除非 $A \cap B$ 与 $C$ 独立。本步骤仅完成代数展开，不涉及独立性假设。

我们已经将事件独立性的条件转化为概率等式。题目要求判断事件$A$、$B$、$C$相互独立的充要条件，而当前步骤需要比较等式左右两边，消去相同项，从而得到$AB$与$C$相互独立的关系。 首先，写出事件$A$、$B$、$C$相互独立的定义： $$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$$ 并且要求两两独立： $$P(AB)=P(A)P(B),\quad P(AC)=P(A)P(C),\quad P(BC)=P(B)P(C)$$ 题目中给出的条件是：$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$，这已经包含了三事件乘积的概率等于各自概率的乘积。但我们需要找出与$P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)$等价的充要条件。 由条件概率公式： $$P(AB|C)=\frac{P(ABC)}{P(C)},\quad P(A|C)=\frac{P(AC)}{P(C)},\quad P(B|C)=\frac{P(BC)}{P(C)}$$ 代入等式$P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)$得： $$\frac{P(ABC)}{P(C)}=\frac{P(AC)}{P(C)}\cdot\frac{P(BC)}{P(C)}$$ 两边同时乘以$P(C)^2$（假设$P(C)>0$）： $$P(ABC)\cdot P(C)=P(AC)\cdot P(BC)$$ 现在，利用两两独立的条件$P(AC)=P(A)P(C)$和$P(BC)=P(B)P(C)$，代入上式： $$P(ABC)\cdot P(C)=P(A)P(C)\cdot P(B)P(C)$$ 两边同时除以$P(C)$（$P(C)>0$）： $$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$$ 这正是三事件相互独立的定义式。但题目要求的是充要条件，我们需要进一步分析。 实际上，从$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$出发，我们可以推导出$AB$与$C$相互独立。因为$AB$与$C$相互独立的条件是： $$P(ABC)=P(AB)P(C)$$ 而由$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$和$P(AB)=P(A)P(B)$（两两独立），可得： $$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)$$ 因此，$AB$与$C$相互独立成立。反过来，如果$AB$与$C$相互独立，即$P(ABC)=P(AB)P(C)$，并且已知$P(AB)=P(A)P(B)$，则代入得$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$，从而三事件相互独立。 所以，充要条件是$AB$与$C$相互独立，即选项(C)。 验证：当$AB$与$C$独立时，$P(ABC)=P(AB)P(C)$，结合两两独立，可得$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$，满足三事件相互独立的定义。反之亦然。因此，正确答案为(C)。