2017年考研数学三第8题

首先，回顾卡方分布的定义：设 $Z_1, Z_2, \ldots, Z_n$ 是相互独立且服从标准正态分布 $N(0,1)$ 的随机变量，则它们的平方和 $\sum_{i=1}^n Z_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，记作 $\chi^2(n)$。卡方分布是推断统计中重要的抽样分布之一，常用于方差估计和假设检验。\n\n对于正态总体 $N(\mu,1)$ 的简单随机样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，有以下重要的抽样分布定理：\n\n1. 若总体均值 $\mu$ 已知，则统计量 $\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，即 $$\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 \sim \chi^2(n).$$ 这是因为 $X_i - \mu \sim N(0,1)$，且相互独立。\n\n2. 若总体均值 $\mu$ 未知，用样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 代替，则统计量 $\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $$\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \sim \chi^2(n-1).$$ 这是由于样本均值 $\bar{X}$ 的引入消耗了一个自由度。\n\n3. 样本均值 $\bar{X}$ 的抽样分布：由于总体方差为1，有 $$\sqrt{n}(\bar{X} - \mu) \sim N(0,1).$$ 即样本均值的标准化形式服从标准正态分布。\n\n这些定理是后续步骤中构造检验统计量和置信区间的基础。在本题目中，需要利用这些分布性质来推导统计量的分布，从而进行假设检验或区间估计。

首先，已知总体$X_i$独立同分布于正态分布$N(\mu,1)$，即每个$X_i$的期望为$\mu$，方差为1。对每个$X_i$进行中心化处理，令$Y_i = X_i - \mu$，则$Y_i \sim N(0,1)$，且$Y_1,Y_2,\dots,Y_n$相互独立。根据卡方分布的定义：若$Z_1,Z_2,\dots,Z_n$相互独立且均服从标准正态分布$N(0,1)$，则它们的平方和$\sum_{i=1}^n Z_i^2$服从自由度为$n$的卡方分布，记作$\chi^2(n)$。因此，对于$Y_i = X_i - \mu$，有$\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n Y_i^2 \sim \chi^2(n)$。选项A的表述为“$\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$服从自由度为$n$的卡方分布”，这与上述推导完全一致，故选项A正确。注意：这里$\mu$是已知的总体均值，不是样本均值，因此无需使用样本均值进行估计，自由度不会减少。

选项B的表达式为 $2(X_n - X_1)^2 \sim \chi^2(1)$。首先，由题设可知 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 独立同分布于 $N(0,1)$，因此 $X_n - X_1$ 服从正态分布，其均值为 $0$，方差为 $\mathrm{Var}(X_n) + \mathrm{Var}(X_1) = 1+1=2$，即 $X_n - X_1 \sim N(0,2)$。对 $X_n - X_1$ 进行标准化：$\frac{X_n - X_1}{\sqrt{2}} \sim N(0,1)$。根据卡方分布的定义，标准正态变量的平方服从自由度为1的卡方分布，即 $\left(\frac{X_n - X_1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{(X_n - X_1)^2}{2} \sim \chi^2(1)$。现在比较选项B的表达式 $2(X_n - X_1)^2$ 与 $\frac{(X_n - X_1)^2}{2}$：$2(X_n - X_1)^2 = 4 \cdot \frac{(X_n - X_1)^2}{2}$，即 $2(X_n - X_1)^2 = 4 \cdot \left[\frac{(X_n - X_1)^2}{2}\right]$。由于 $\frac{(X_n - X_1)^2}{2} \sim \chi^2(1)$，而卡方分布乘以常数4后不再是卡方分布（卡方分布乘以常数后变为Gamma分布，但自由度和尺度参数均改变，不是标准卡方分布），因此 $2(X_n - X_1)^2$ 不服从 $\chi^2(1)$。故选项B不正确。

选项C为：$\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。 根据抽样分布定理，设$X_1, X_2, \ldots, X_n$是来自正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的简单随机样本，样本均值$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，样本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$。则有以下重要结论： 1. $\bar{X}$与$S^2$相互独立； 2. $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。 该结论的推导基于以下事实：$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2 = \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 + n(\bar{X}-\mu)^2$，且$\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$，$\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$，由Cochran定理可知，$\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2}$与$\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}$相互独立，且$\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。 因此，选项C中的统计量服从自由度为$n-1$的卡方分布，选项C正确。

首先，由题意知总体 $X \sim N(\mu, 1)$，样本 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 独立同分布，样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$。根据正态总体的抽样分布，有 $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{1}{n})$。 对 $\bar{X}$ 进行标准化：令 $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{1/\sqrt{n}} = \sqrt{n}(\bar{X} - \mu)$，则 $Z \sim N(0,1)$。 由于标准正态分布的平方服从自由度为1的卡方分布，即 $Z^2 \sim \chi^2(1)$。而 $Z^2 = [\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)]^2 = n(\bar{X} - \mu)^2$，因此 $n(\bar{X} - \mu)^2 \sim \chi^2(1)$。 选项D的表述为：“$n(\bar{X} - \mu)^2$ 服从自由度为1的卡方分布”，这与上述推导完全一致，故选项D正确。 至此，已判断选项A、B、C均错误，选项D正确，因此本题的正确答案为D。