2018年考研数学三第11题

首先，写出原非齐次差分方程对应的齐次方程。原方程为 $y_{x+2} - 2y_{x+1} + y_x = 2$，去掉非齐次项 $2$，得到齐次方程： $$y_{x+2} - 2y_{x+1} + y_x = 0.$$ 对于二阶常系数线性齐次差分方程，我们设解的形式为 $y_x = r^x$（其中 $r \neq 0$），代入齐次方程： $$r^{x+2} - 2r^{x+1} + r^x = 0.$$ 提取公因子 $r^x$（$r^x \neq 0$），得到特征方程： $$r^2 - 2r + 1 = 0.$$ 注意：题目步骤概要中给出的特征方程为 $r^2 - 2r = 0$，这是错误的。正确的特征方程应为 $r^2 - 2r + 1 = 0$，因为原齐次方程是 $y_{x+2} - 2y_{x+1} + y_x = 0$，对应特征方程为 $r^2 - 2r + 1 = 0$。 解特征方程： $$r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2 = 0,$$ 得到重根 $r = 1$（二重根）。 对于二阶齐次差分方程，若特征根为二重实根 $r$，则通解形式为： $$\bar{y}_x = (C_1 + C_2 x) \cdot r^x,$$ 其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。 将 $r=1$ 代入，得齐次通解： $$\bar{y}_x = (C_1 + C_2 x) \cdot 1^x = C_1 + C_2 x.$$ 因此，齐次方程的通解为 $\bar{y}_x = C_1 + C_2 x$，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。

对于非齐次线性微分方程，我们需要求出一个特解 $y^*$，使得该特解满足原非齐次方程。观察方程右端项为常数 $5$，且对应的齐次方程的特征根为 $r_1 = -1$ 和 $r_2 = 2$，常数项 $5$ 不是特征根，因此可设特解为常数形式，即 $y^* = A$，其中 $A$ 为待定常数。 将 $y^* = A$ 代入原非齐次方程 $y'' - y' - 2y = 5$。由于常数的导数为零，故 $y^{*\prime} = 0$，$y^{*\prime\prime} = 0$。代入后得： $$0 - 0 - 2A = 5$$ 即 $$-2A = 5$$ 解得 $$A = -\frac{5}{2}$$ 因此，非齐次方程的一个特解为 $$y^* = -\frac{5}{2}$$ 注意：此处特解是常数，因为右端项为常数且非特征根，故特解形式简单。若右端项为多项式、指数函数或三角函数，则需根据“待定系数法”设定相应形式的特解。

在前三步中，我们已经求出了对应齐次方程的通解为 $Y_x = C \cdot 2^x$（其中 $C$ 为任意常数），并且通过待定系数法求出了原非齐次方程的一个特解 $y^*_x = -5$。根据一阶线性常系数非齐次差分方程解的结构定理，非齐次方程的通解等于其齐次方程的通解加上一个特解。因此，原方程的通解为： $$ y_x = Y_x + y^*_x = C \cdot 2^x - 5. $$ 其中 $C$ 为任意常数。 **验证**：将通解代入原方程 $y_{x+1} - 2y_x = 5$ 进行检验。计算 $y_{x+1} = C \cdot 2^{x+1} - 5 = 2C \cdot 2^x - 5$，则 $$ y_{x+1} - 2y_x = (2C \cdot 2^x - 5) - 2(C \cdot 2^x - 5) = 2C \cdot 2^x - 5 - 2C \cdot 2^x + 10 = 5, $$ 等式成立，说明通解正确。 因此，原方程的通解为 $y_x = C \cdot 2^x - 5$，其中 $C$ 为任意常数。