2018年考研数学三第12题

已知函数 $f(x)$ 满足增量关系： $$f(x+\Delta x)-f(x)=2xf(x)\Delta x+o(\Delta x)$$ 其中 $o(\Delta x)$ 表示当 $\Delta x\to 0$ 时比 $\Delta x$ 高阶的无穷小。 根据导数的定义，函数 $f(x)$ 在点 $x$ 处的导数 $f'(x)$ 为极限： $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ 将已知的增量关系代入上式，得： $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2xf(x)\Delta x+o(\Delta x)}{\Delta x}$$ 将分子拆开： $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\left(2xf(x)+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right)$$ 由于 $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0$（高阶无穷小的定义），因此： $$f'(x)=2xf(x)$$ 这样就得到了 $f(x)$ 所满足的微分方程。

根据已知条件，函数 $f(x)$ 满足关系式 $f'(x) = 2x f(x)$。这是一个一阶可分离变量的微分方程。将变量分离，得到 $\frac{df}{f} = 2x \, dx$。两边同时积分：$\int \frac{df}{f} = \int 2x \, dx$。计算积分得 $\ln|f| = x^2 + C$，其中 $C$ 为任意常数。两边取指数，得到 $|f(x)| = e^{x^2 + C} = e^C e^{x^2}$。令 $C_1 = \pm e^C$（或直接记作新的常数 $C$），则通解为 $f(x) = C e^{x^2}$，其中 $C$ 为任意常数。至此，微分方程求解完成。

已知前一步得到通解形式为 $f(x)=Ce^{x^2}$，其中 $C$ 为待定常数。现在利用初始条件 $f(0)=2$ 来确定 $C$ 的值。将 $x=0$ 代入通解表达式：$f(0)=Ce^{0^2}=Ce^0=C$。由初始条件 $f(0)=2$，可得 $C=2$。因此，满足初始条件的特解为 $f(x)=2e^{x^2}$。至此，微分方程的解已完全确定。

本步骤的目标是计算函数$f(x)=2e^{x^2}$在$x=1$处的函数值$f(1)$。根据前几步的推导，我们已经得到$f(x)$的表达式为$f(x)=2e^{x^2}$。现在将$x=1$代入该表达式： $$f(1)=2e^{1^2}$$ 由于$1^2=1$，因此 $$f(1)=2e^{1}=2e$$ 最终结果为$2e$。 为了验证结果的正确性，我们可以从原题条件出发进行检验。原题中$f(x)$满足微分方程$f'(x)=2xf(x)$，且$f(0)=2$。我们求出的$f(x)=2e^{x^2}$满足$f(0)=2e^{0}=2$，且$f'(x)=2\cdot 2x e^{x^2}=4xe^{x^2}=2x\cdot 2e^{x^2}=2xf(x)$，因此解正确。代入$x=1$得$f(1)=2e$，与直接代入结果一致。 因此，$f(1)=2e$即为本题所求的最终答案。