2018年考研数学三第14题

首先，根据条件概率的定义，对于任意两个事件$X$和$Y$，在事件$Y$发生的条件下事件$X$发生的概率为： $$P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)} \quad (P(Y) > 0).$$ 本题要求计算$P(AC|A \cup B)$，即事件$A \cup B$发生的条件下事件$AC$发生的概率。因此，令$X = AC$，$Y = A \cup B$，代入条件概率公式得： $$P(AC|A \cup B) = \frac{P(AC \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}.$$ 这就是本步骤需要写出的条件概率公式。注意，分子中的$AC \cap (A \cup B)$表示事件$AC$与事件$A \cup B$同时发生，即$AC$且($A$或$B$)。后续步骤将利用集合运算和概率性质对分子和分母进行化简。

当前步骤的目标是对分子事件 $AC \cap (A \cup B)$ 进行化简。 首先，注意到事件 $A$ 与事件 $C$ 的关系：由题目条件可知 $AC \subseteq A$，即事件 $A$ 与 $C$ 同时发生必然导致 $A$ 发生。因此，$AC$ 是 $A$ 的一个子集。 其次，考虑 $A$ 与 $A \cup B$ 的关系：显然 $A \subseteq A \cup B$，即 $A$ 发生必然导致 $A$ 或 $B$ 发生。 由子集的传递性，因为 $AC \subseteq A$ 且 $A \subseteq A \cup B$，所以 $AC \subseteq A \cup B$。 当 $AC$ 是 $A \cup B$ 的子集时，$AC$ 与 $A \cup B$ 的交集就等于 $AC$ 本身，即 $$ AC \cap (A \cup B) = AC. $$ 因此，分子 $P[AC \cap (A \cup B)]$ 简化为 $P(AC)$。 这一化简过程利用了集合包含关系的基本性质，为后续计算概率扫清了障碍。

本步骤的目标是计算事件A与事件C同时发生的概率，即$P(AC)$。根据题目条件，事件A与事件C相互独立。独立性的定义是：若两个事件相互独立，则它们同时发生的概率等于各自概率的乘积，即$P(AC) = P(A) \cdot P(C)$。 已知$P(A) = \frac{1}{2}$，$P(C) = \frac{1}{2}$。代入公式得： $$P(AC) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.$$ 因此，分子$P(AC)$的值为$\frac{1}{4}$。这一结果将用于后续步骤中计算条件概率或联合概率的比值。注意，这里直接使用独立性条件，无需考虑事件之间的其他关系。

本步骤的目标是计算分母 $P(A \cup B)$。已知事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P(A) = \frac{1}{2}$，$P(B) = \frac{1}{2}$。根据概率的加法公式，对于任意两个事件 $A$ 和 $B$，有： $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$ 由于 $A$ 与 $B$ 相互独立，因此积事件的概率等于各自概率的乘积： $$P(AB) = P(A)P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$ 将已知数值代入加法公式： $$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ 因此，分母 $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$。

本步骤将已知的概率值代入条件概率公式，并进行化简计算。 根据步骤4得到的表达式： $$P(AC|A\cup B) = \frac{P(AC)}{P(A\cup B)}$$ 由题目已知条件或前面步骤的计算结果，有： - $P(AC) = \frac{1}{4}$ - $P(A\cup B) = \frac{3}{4}$ 代入公式得： $$P(AC|A\cup B) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}$$ 根据分数除法法则，除以一个分数等于乘以它的倒数： $$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{4 \times 3} = \frac{4}{12}$$ 约分： $$\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$ 因此，最终结果为： $$P(AC|A\cup B) = \frac{1}{3}$$ **验证**：检查概率值是否在0到1之间，$\frac{1}{3} \approx 0.333$，符合概率公理。同时，条件概率的分母$P(A\cup B) = \frac{3}{4} > 0$，满足条件概率定义。计算过程无误，结果合理。