📋 详细解题步骤
目标：拆分极限表达式
首先，我们分析原极限表达式：
$$
\lim_{x\to+\infty} \left[ x\left(a e^{1/x}-1\right) + b e^{1/x} \right].
$$
该表达式由两部分相加组成：第一部分是 $x\left(a e^{1/x}-1\right)$，第二部分是 $b e^{1/x}$。根据极限的加法法则，若两个极限分别存在，则和的极限等于极限的和。因此，我们可以将原极限拆分为两个极限之和：
$$
\lim_{x\to+\infty} x\left(a e^{1/x}-1\right) + \lim_{x\to+\infty} b e^{1/x}.
$$
接下来，分别考察这两个极限。对于第二个极限 $\lim_{x\to+\infty} b e^{1/x}$，由于当 $x\to+\infty$ 时，$1/x \to 0$，而指数函数 $e^t$ 在 $t=0$ 处连续，所以 $\lim_{x\to+\infty} e^{1/x} = e^0 = 1$。因此，
$$
\lim_{x\to+\infty} b e^{1/x} = b \cdot 1 = b.
$$
这样，原极限就转化为：
$$
\lim_{x\to+\infty} x\left(a e^{1/x}-1\right) + b.
$$
注意，第一个极限 $\lim_{x\to+\infty} x\left(a e^{1/x}-1\right)$ 是 $\infty \cdot 0$ 型未定式，需要进一步处理。本步骤完成了极限的拆分，并将常数部分 $b$ 分离出来，为后续步骤中计算第一个极限做好准备。
公式：\lim_{x\to+\infty} \left[ x\left(a e^{1/x}-1\right) + b e^{1/x} \right] = \lim_{x\to+\infty} x\left(a e^{1/x}-1\right) + \lim_{x\to+\infty} b e^{1/x} = \lim_{x\to+\infty} x\left(a e^{1/x}-1\right) + b
提示：拆分极限时，先处理可直接求值的部分，简化表达式。
目标：利用极限存在性求a
已知极限 $\lim_{x\to+\infty} x(a e^{1/x}-1)$ 存在且有限。由于当 $x\to+\infty$ 时，$x\to+\infty$，若要使乘积 $x \cdot (a e^{1/x}-1)$ 的极限为有限值，则必须要求因子 $(a e^{1/x}-1)$ 趋于 $0$，否则乘积将趋于无穷大（正无穷或负无穷）。因此，我们有：
$$
\lim_{x\to+\infty} (a e^{1/x}-1) = 0.
$$
计算该极限：当 $x\to+\infty$ 时，$\frac{1}{x}\to 0$，从而 $e^{1/x}\to e^0 = 1$。于是
$$
\lim_{x\to+\infty} (a e^{1/x}-1) = a \cdot 1 - 1 = a - 1.
$$
令其等于 $0$，得到 $a - 1 = 0$，解得 $a = 1$。
因此，参数 $a$ 的值为 $1$。
公式：\lim_{x\to+\infty} (a e^{1/x}-1)=0 \Rightarrow a=1
提示：乘积极限存在且有限时，若一个因子趋于无穷，则另一因子必须趋于0。
目标：代入a并化简极限
将上一步求得的 $a=1$ 代入原极限表达式，得到：
$$
\lim_{x\to+\infty} \left[ x\left( e^{1/x} - 1 \right) + b \right].
$$
此时极限式分为两部分：$x(e^{1/x}-1)$ 和常数 $b$。我们需要先计算 $\lim_{x\to+\infty} x(e^{1/x}-1)$。令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x\to+\infty$ 时，$t\to 0^+$，于是
$$
\lim_{x\to+\infty} x(e^{1/x}-1) = \lim_{t\to 0^+} \frac{e^t - 1}{t}.
$$
这是一个 $\frac{0}{0}$ 型极限，可以利用等价无穷小：当 $t\to 0$ 时，$e^t - 1 \sim t$，因此
$$
\lim_{t\to 0^+} \frac{e^t - 1}{t} = 1.
$$
或者使用洛必达法则：分子分母分别求导得 $\lim_{t\to 0^+} \frac{e^t}{1} = 1$。所以
$$
\lim_{x\to+\infty} x(e^{1/x}-1) = 1.
$$
因此原极限化为 $1 + b$。注意，这里 $b$ 是待定常数，需要根据极限存在的条件进一步确定。本步骤仅完成代入 $a=1$ 并化简极限的过程，得到极限值为 $1+b$。
公式：$$\lim_{x\to+\infty} x(e^{1/x}-1) = 1$$
提示：遇到 $x(e^{1/x}-1)$ 时，令 $t=1/x$ 转化为 $\frac{e^t-1}{t}$ 是常用技巧。
目标：使用等价无穷小替换
当 $x\to +\infty$ 时，$\frac{1}{x}\to 0$，因此 $e^{1/x}-1$ 是无穷小量。根据等价无穷小替换公式：当 $u\to 0$ 时，$e^u-1 \sim u$。令 $u=\frac{1}{x}$，则当 $x\to +\infty$ 时，$u\to 0$，故有 $e^{1/x}-1 \sim \frac{1}{x}$。
将这一等价关系代入原极限表达式 $\lim_{x\to +\infty} x(e^{1/x}-1)$ 中，得到：
$$
\lim_{x\to +\infty} x(e^{1/x}-1) = \lim_{x\to +\infty} x \cdot \frac{1}{x} = \lim_{x\to +\infty} 1 = 1.
$$
因此，该极限值为 $1$。注意，等价无穷小替换只能在乘除运算中使用，此处 $x$ 与 $(e^{1/x}-1)$ 是乘积关系，满足替换条件。
公式：$$e^{1/x}-1 \sim \frac{1}{x} \quad (x\to +\infty)$$
提示：注意验证 $x\to +\infty$ 时 $1/x\to 0$，确保等价条件成立。
目标：解出b
我们已经得到方程 $1+b=2$。为了解出 $b$，将等式两边同时减去 $1$（移项），得到 $b=2-1$。计算得 $b=1$。因此，所求参数 $b$ 的值为 $1$。
**验证**：将 $b=1$ 代入原方程 $1+b=2$，左边 $1+1=2$，右边 $2$，等式成立，说明解正确。
至此，所有参数均已求出。
公式：$$1+b=2 \Rightarrow b=1$$
提示：移项要变号，减法计算要仔细。