💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（I）因为 $E(X)=0, E\left(X^{2}\right)=1, E(Y)=\lambda$ ，以及 $X, Y$ 相互独立，故
$$
\begin{array}{rl}
\operatorname{Cov}(X, Z) & =\operatorname{Cov}(X, X Y)=E\left(X^{2} Y\right)-E(X) E(X Y) \\
& =E\left(X^{2}\right) E(Y)-E^{2}(X) E(Y)=\lambda
\end{array}
$$
（II）由 $Y$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，即 $P\{Y=j\}=\displaystyle\frac{\lambda^{j}}{j!} \mathrm{e}^{-\lambda}(j=0,1,2, \cdots)$ ，于是 $Z$ 的所有可能取值为全体整数．故 $Z$ 的概率分布为
1）当 $k$ 为正整数时，有
$$
P\{Z=k\}=P\{X Y=k\}=P\{X=1, Y=k\}=P\{X=1\} P\{Y=k\}=\frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda^{k}}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda} ;
$$
2）当 $k$ 为负整数时，有
$$
\begin{aligned}
P\{Z=k\} & =P\{X Y=k\}=P\{X=-1, Y=-k\}=P\{X=-1\} P\{Y=-k\} \\
& =\frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda^{-k}}{(-k)!} \mathrm{e}^{-\lambda}
\end{aligned}
$$
3）当 $k$ 为 0 时，有
$$
\begin{aligned}
P\{Z=0\} & =P\{X Y=0\}=P\{X=-1, Y=0\}+P\{X=1, Y=0\} \\
& =P\{X=-1\} P\{Y=0\}+P\{X=1\} P\{Y=0\} \\
& =\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\lambda}+\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\lambda}=\mathrm{e}^{-\lambda}
\end{aligned}
$$
故 $P(Z=k)= \begin{cases}\displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\lambda^{k}}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda}, & k=1,2,3, \cdots, \\ \mathrm{e}^{-\lambda}, & k=0, \\ \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{\lambda^{-k}}{(-k)!} \mathrm{e}^{-\lambda}, & k=-1,-2,-3, \cdots\end{cases}$
📋 详细解题步骤
目标：计算协方差Cov(X,Z)
已知随机变量$X$与$Y$相互独立，且$X\sim N(0,1)$，$Y\sim P(\lambda)$（泊松分布），定义$Z=XY$。我们需要计算协方差$\operatorname{Cov}(X,Z)$。
根据协方差的定义：
$$\operatorname{Cov}(X,Z)=E(XZ)-E(X)E(Z).$$
由于$Z=XY$，代入得：
$$\operatorname{Cov}(X,Z)=E(X\cdot XY)-E(X)E(XY)=E(X^2Y)-E(X)E(XY).$$
利用$X$与$Y$的独立性，可以将期望拆分为乘积：
$$E(X^2Y)=E(X^2)E(Y),\quad E(XY)=E(X)E(Y).$$
已知$X\sim N(0,1)$，所以$E(X)=0$，$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1+0=1$。
已知$Y\sim P(\lambda)$，所以$E(Y)=\lambda$。
代入得：
$$E(X^2Y)=1\cdot \lambda=\lambda,$$
$$E(X)E(XY)=0\cdot E(XY)=0.$$
因此：
$$\operatorname{Cov}(X,Z)=\lambda-0=\lambda.$$
公式：$$\operatorname{Cov}(X,Z)=E(X^2Y)-E(X)E(XY)=E(X^2)E(Y)-E(X)^2E(Y)=\lambda$$
提示：注意$X$与$Y$独立，$E(X^2Y)=E(X^2)E(Y)$，且$E(X)=0$简化计算。
目标：确定Z的可能取值
由题意，随机变量$X$只能取$\pm 1$，即$X \in \{1, -1\}$；随机变量$Y$服从参数为$\lambda$的泊松分布，其取值范围为非负整数，即$Y \in \{0,1,2,\dots\}$。定义$Z = XY$，则$Z$的取值由$X$和$Y$的取值共同决定。
具体分析如下：
- 当$X=1$时，$Z = 1 \cdot Y = Y$，此时$Z$可取$Y$的所有可能值，即$0,1,2,\dots$（所有非负整数）。
- 当$X=-1$时，$Z = (-1) \cdot Y = -Y$，此时$Z$可取$-Y$的所有可能值，即$0,-1,-2,\dots$（所有非正整数）。
注意到$Y=0$时，无论$X=1$还是$X=-1$，均有$Z=0$，因此$0$是公共取值。综合两种情况，$Z$可以取到所有整数：包括$0$、所有正整数（来自$X=1$且$Y>0$）以及所有负整数（来自$X=-1$且$Y>0$）。
因此，$Z$的可能取值集合为全体整数，记作$\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$。
公式：$$Z = XY, \quad X \in \{1,-1\}, \quad Y \in \{0,1,2,\dots\} \Rightarrow Z \in \mathbb{Z}$$
提示：分别考虑X=1和X=-1两种情况，再合并所有可能取值。
目标：求Z为正整数k的概率
本步骤的目标是计算随机变量$Z$取值为正整数$k$的概率。根据题意，$Z = X \cdot Y$，其中$X$服从参数为$\frac{1}{2}$的0-1分布，$Y$服从参数为$\lambda$的泊松分布，且$X$与$Y$相互独立。
当$k > 0$时，$Z = k$只能由$X = 1$且$Y = k$这一种情况得到。这是因为：
- 若$X = 0$，则$Z = 0$，不可能得到正整数$k$；
- 若$X = 1$，则$Z = Y$，此时$Z = k$等价于$Y = k$。
因此，事件$\{Z = k\}$与事件$\{X = 1, Y = k\}$等价。由$X$与$Y$的独立性，有：
$$P(Z = k) = P(X = 1, Y = k) = P(X = 1) \cdot P(Y = k).$$
已知$X$的分布为：$P(X = 0) = \frac{1}{2}$，$P(X = 1) = \frac{1}{2}$。$Y$服从参数为$\lambda$的泊松分布，其概率质量函数为：
$$P(Y = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots$$
代入得：
$$P(Z = k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 1, 2, 3, \dots$$
注意：此公式仅对正整数$k$成立。当$k = 0$时，$Z = 0$可由$X = 0$（此时$Y$任意）或$X = 1, Y = 0$得到，需单独处理（后续步骤将涉及）。
至此，我们得到了$Z$取任意正整数$k$的概率表达式。
公式：P(Z=k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=1,2,3,\dots
提示：注意k>0时只有X=1一种可能，利用独立性将联合概率分解为边缘概率乘积。
目标：求Z为负整数k的概率
本步骤需要计算当$k<0$时，随机变量$Z$取值为负整数$k$的概率。由题目设定，$Z = X \cdot Y$，其中$X$与$Y$相互独立，$X$服从参数为$\frac{1}{2}$的两点分布，即$P(X=-1)=\frac{1}{2}$，$P(X=1)=\frac{1}{2}$；$Y$服从参数为$\lambda$的泊松分布，即$P(Y=n)=\frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$，$n=0,1,2,\dots$。
当$k<0$时，$Z=k$意味着$X \cdot Y = k$。由于$k$为负整数，而$Y$只能取非负整数，因此$X$必须取负值，即$X=-1$，此时$Y = -k$（因为$(-1)\cdot Y = k$，所以$Y = -k$）。注意$-k$为正整数，符合$Y$的取值范围。
利用$X$与$Y$的独立性，事件$\{Z=k\}$的概率等于事件$\{X=-1\}$与事件$\{Y=-k\}$同时发生的概率，即
$$
P(Z=k) = P(X=-1,\, Y=-k) = P(X=-1) \cdot P(Y=-k).
$$
代入已知分布：
$$
P(X=-1)=\frac{1}{2},\quad P(Y=-k)=\frac{\lambda^{-k} e^{-\lambda}}{(-k)!}.
$$
因此，
$$
P(Z=k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\lambda^{-k} e^{-\lambda}}{(-k)!},\quad k=-1,-2,-3,\dots
$$
注意：$(-k)!$表示阶乘，因为$-k$是正整数。此公式给出了$Z$取所有负整数的概率。
公式：$$P(Z=k)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\lambda^{-k}e^{-\lambda}}{(-k)!},\quad k=-1,-2,-3,\dots$$
提示：注意k为负整数，因此Y=-k为正整数，代入泊松分布公式时指数和阶乘均用(-k)。
目标：求Z=0的概率
我们需要计算随机变量$Z=XY$取值为0的概率。由$Z$的定义可知，$Z=0$当且仅当$X=0$或$Y=0$。但根据题目条件，$X$的取值为$-1$和$1$，且$P(X=-1)=P(X=1)=\frac{1}{2}$，因此$X$不可能为0。所以$Z=0$只能由$Y=0$导致。而$Y$服从参数为$\lambda$的泊松分布，即$Y\sim P(\lambda)$，其概率分布为$P(Y=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$，$k=0,1,2,\dots$。因此$P(Y=0)=e^{-\lambda}$。
由于$X$与$Y$相互独立，事件$\{X=1,Y=0\}$和$\{X=-1,Y=0\}$互不相容，且它们的并集即为$\{Z=0\}$。于是
$$
P(Z=0)=P(X=1,Y=0)+P(X=-1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=-1)P(Y=0)=\frac{1}{2}e^{-\lambda}+\frac{1}{2}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}.
$$
因此，$Z=0$的概率为$e^{-\lambda}$。
公式：P(Z=0)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=-1)P(Y=0)=\frac{1}{2}e^{-\lambda}+\frac{1}{2}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}
提示：注意X的取值只有±1，因此Z=0等价于Y=0，直接利用泊松分布即可。
目标：综合写出Z的概率分布
在前几步中，我们已经分别求出了三种情况下随机变量$Z$的分布：
1. 当$X=0,Y=0$时，$Z=0$，概率为$P(X=0,Y=0)=\frac{1}{4}$。
2. 当$X=0,Y=1$或$X=1,Y=0$时，$Z=1$，概率为$P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。
3. 当$X=1,Y=1$时，$Z=2$，概率为$P(X=1,Y=1)=\frac{1}{4}$。
现在将这些结果合并成分段函数形式，即$Z$的概率分布律为：
$$P(Z=k)=\begin{cases}
\frac{1}{4}, & k=0 \\
\frac{1}{2}, & k=1 \\
\frac{1}{4}, & k=2 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}$$
为了验证结果的正确性，我们检查所有概率之和是否为1：
$$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1$$
同时，$Z$的取值0,1,2恰好对应了$X$和$Y$中1的个数，因此该分布与二项分布$B(2,\frac{1}{2})$一致，进一步验证了结果的合理性。
因此，$Z$的概率分布为：
$$P(Z=0)=\frac{1}{4},\quad P(Z=1)=\frac{1}{2},\quad P(Z=2)=\frac{1}{4}.$$
公式：$$P(Z=k)=\begin{cases}\frac{1}{4}, & k=0 \\ \frac{1}{2}, & k=1 \\ \frac{1}{4}, & k=2 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$$
提示：最后一步务必验证所有概率之和为1，这是检验分布正确性的关键。