📋 详细解题步骤
目标：化简积分M
首先，我们需要化简积分 $M = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{(1+x)^2}{1+x^2} \, dx$。将被积函数展开：
$$
\frac{(1+x)^2}{1+x^2} = \frac{1 + 2x + x^2}{1+x^2} = \frac{1+x^2}{1+x^2} + \frac{2x}{1+x^2} = 1 + \frac{2x}{1+x^2}.
$$
因此，
$$
M = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(1 + \frac{2x}{1+x^2}\right) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 \, dx + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2x}{1+x^2} \, dx.
$$
注意到第二项的被积函数 $\frac{2x}{1+x^2}$ 是奇函数（因为分子 $2x$ 是奇函数，分母 $1+x^2$ 是偶函数，整体为奇函数），而积分区间 $[-\pi/2, \pi/2]$ 关于原点对称。根据奇函数在对称区间上的积分性质，该积分为零：
$$
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2x}{1+x^2} \, dx = 0.
$$
于是，
$$
M = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 \, dx = \left[ x \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi.
$$
因此，化简后的积分 $M = \pi$。
公式：$$\frac{(1+x)^2}{1+x^2} = 1 + \frac{2x}{1+x^2}$$
提示：遇到对称区间时，优先考虑函数的奇偶性，可大幅简化计算。
目标：比较被积函数大小
在区间 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上，我们需要比较三个被积函数的大小。首先分析第一个被积函数 $1+\sqrt{\cos x}$。由于在该区间内 $\cos x \geq 0$，因此 $\sqrt{\cos x} \geq 0$，从而 $1+\sqrt{\cos x} \geq 1$，且等号仅在 $\cos x = 0$ 即 $x = \pm \frac{\pi}{2}$ 时成立，在区间内部恒有 $1+\sqrt{\cos x} > 1$。
接着分析第二个被积函数 $\frac{1+x}{e^x}$。考虑函数 $f(x) = \frac{1+x}{e^x}$，其导数为 $f'(x) = \frac{e^x - (1+x)e^x}{e^{2x}} = \frac{-x}{e^x}$。在区间 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上，当 $x < 0$ 时 $f'(x) > 0$，当 $x > 0$ 时 $f'(x) < 0$，因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得最大值 $f(0)=1$。所以 $\frac{1+x}{e^x} \leq 1$，等号仅在 $x=0$ 时成立，在区间内其他点处 $\frac{1+x}{e^x} < 1$。
第三个被积函数为常数 $1$。综合以上分析，在区间 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上（端点及内部），有 $1+\sqrt{\cos x} \geq 1 \geq \frac{1+x}{e^x}$，且除了个别点外，严格不等式 $1+\sqrt{\cos x} > 1 > \frac{1+x}{e^x}$ 成立。因此三个被积函数的大小关系为：$1+\sqrt{\cos x} > 1 > \frac{1+x}{e^x}$。
公式：1+\sqrt{\cos x} \geq 1 \geq \frac{1+x}{e^x}，且严格有 1+\sqrt{\cos x} > 1 > \frac{1+x}{e^x}
提示：比较被积函数大小时，优先考虑最值或恒等变形，注意端点处等号成立情况。
目标：应用定积分保号性
根据定积分的保号性，若在区间 $[0,1]$ 上恒有 $f(x) > g(x)$，则对应的定积分满足 $\int_0^1 f(x) \, dx > \int_0^1 g(x) \, dx$。
由前一步骤已得，在 $[0,1]$ 上，被积函数满足：
$$\frac{1}{1+x^2} > \frac{1}{1+\sin^2 x} > \frac{1}{1+e^x}$$
对三个函数在 $[0,1]$ 上分别取定积分，记：
$$K = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx, \quad M = \int_0^1 \frac{1}{1+\sin^2 x} \, dx, \quad N = \int_0^1 \frac{1}{1+e^x} \, dx$$
由保号性，有：
$$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx > \int_0^1 \frac{1}{1+\sin^2 x} \, dx > \int_0^1 \frac{1}{1+e^x} \, dx$$
即 $K > M > N$。
进一步，注意到常数函数 $1$ 在 $[0,1]$ 上的定积分为：
$$\int_0^1 1 \, dx = 1$$
由于在 $[0,1]$ 上，$\frac{1}{1+x^2} < 1$（因为分母 $1+x^2 > 1$），且 $\frac{1}{1+e^x} > 0$，因此有：
$$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx < \int_0^1 1 \, dx = 1$$
$$\int_0^1 \frac{1}{1+e^x} \, dx > 0$$
结合保号性得到的不等式链，可得：
$$1 > K > M > N > 0$$
因此，三个积分的大小关系为 $K > M > N$，且均介于 $0$ 与 $1$ 之间。
公式：若 $f(x) > g(x)$ 在 $[a,b]$ 上恒成立，则 $\int_a^b f(x) \, dx > \int_a^b g(x) \, dx$
提示：保号性只要求函数在区间上逐点比较，积分大小关系与函数大小关系一致。
目标：选择正确选项
根据前几步的推导，我们已经得到三个随机变量的大小关系为 $K > M > N$。现在需要根据这个关系在四个选项中选择正确的结论。
首先回顾各选项的含义：
- (A) $P(X \leq Y) = P(Y \leq Z)$
- (B) $P(X \leq Y) = P(X \leq Z)$
- (C) $P(Y \leq Z) = P(X \leq Z)$
- (D) $P(Y \leq Z) = P(X \leq Y)$
由于 $K = \max\{X,Y,Z\}$，$M = \min\{X,Y,Z\}$，$N = \min\{X,Y\}$，且已知 $K > M > N$，这意味着 $X$、$Y$、$Z$ 三个数中，最大值大于中间值，中间值大于 $X$ 和 $Y$ 中的较小者。这等价于 $Z$ 是中间值，$X$ 和 $Y$ 中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值。具体地，$K = \max\{X,Y\}$，$M = Z$，$N = \min\{X,Y\}$。
因此，事件 $Y \leq Z$ 表示 $Y$ 不大于中间值 $Z$，而事件 $X \leq Z$ 表示 $X$ 不大于中间值 $Z$。由于 $X$ 和 $Y$ 中较大的那个等于 $K$，较小的那个等于 $N$，且 $K > Z > N$，所以较大的那个一定大于 $Z$，较小的那个一定小于 $Z$。因此，$X$ 和 $Y$ 中恰好有一个小于等于 $Z$，另一个大于 $Z$。于是 $P(Y \leq Z) = P(X \leq Z) = \frac{1}{2}$，故选项 (C) 正确。
验证其他选项：
- (A) $P(X \leq Y) = P(Y \leq Z)$：$P(X \leq Y)$ 不一定等于 $\frac{1}{2}$，因为 $X$ 和 $Y$ 同分布但可能相关，且 $Y \leq Z$ 的概率为 $\frac{1}{2}$，但两者不一定相等。
- (B) $P(X \leq Y) = P(X \leq Z)$：同样，$P(X \leq Y)$ 不一定等于 $\frac{1}{2}$。
- (D) $P(Y \leq Z) = P(X \leq Y)$：理由同上。
因此，正确选项为 (C)。
公式：P(Y \leq Z) = P(X \leq Z) = \frac{1}{2}
提示：利用 $K>M>N$ 推出 $Z$ 是中间值，从而得到两个概率相等。