2018年考研数学三第4题

根据题目信息，已知总成本函数为 $C(Q) = 100 + 20Q + 0.1Q^2$，其中 $Q$ 表示产量。平均成本 $ar{C}(Q)$ 定义为总成本除以产量，即 $ar{C}(Q) = \frac{C(Q)}{Q}$。将总成本函数代入，得到： $$ \bar{C}(Q) = \frac{100 + 20Q + 0.1Q^2}{Q} $$ 对分子各项分别除以 $Q$，化简得： $$ \bar{C}(Q) = \frac{100}{Q} + 20 + 0.1Q $$ 因此，平均成本函数为 $ar{C}(Q) = \frac{100}{Q} + 20 + 0.1Q$。该函数表示每单位产品的平均成本，其中 $rac{100}{Q}$ 为平均固定成本，$20$ 为平均可变成本中的常数部分，$0.1Q$ 为随产量线性增加的平均可变成本部分。

已知总成本函数为 $C(Q)$，则平均成本函数定义为 $\bar{C}(Q) = \frac{C(Q)}{Q}$。为了研究平均成本的变化规律，需要对其求导。利用商的导数公式：若 $f(Q) = \frac{u(Q)}{v(Q)}$，则 $f'(Q) = \frac{u'(Q)v(Q) - u(Q)v'(Q)}{[v(Q)]^2}$。此处 $u(Q) = C(Q)$，$v(Q) = Q$，因此 $u'(Q) = C'(Q)$，$v'(Q) = 1$。代入公式得： $$\bar{C}'(Q) = \frac{C'(Q) \cdot Q - C(Q) \cdot 1}{Q^2} = \frac{C'(Q)Q - C(Q)}{Q^2}.$$ 该导数表示平均成本关于产量 $Q$ 的变化率。分子 $C'(Q)Q - C(Q)$ 可进一步整理为 $Q[C'(Q) - \bar{C}(Q)]$，因为 $\bar{C}(Q) = C(Q)/Q$。因此，$\bar{C}'(Q) = \frac{C'(Q) - \bar{C}(Q)}{Q}$。这一形式更直观地反映了边际成本与平均成本的关系：当边际成本 $C'(Q)$ 小于平均成本 $\bar{C}(Q)$ 时，$\bar{C}'(Q) < 0$，平均成本递减；反之则递增。 在具体题目中，若给出 $C(Q)$ 的具体表达式（如 $C(Q) = aQ^2 + bQ + c$ 等），可代入上述公式直接计算。例如，若 $C(Q) = 100 + 20Q + 0.5Q^2$，则 $C'(Q) = 20 + Q$，代入得 $\bar{C}'(Q) = \frac{(20+Q)Q - (100+20Q+0.5Q^2)}{Q^2} = \frac{20Q+Q^2 -100 -20Q -0.5Q^2}{Q^2} = \frac{0.5Q^2 -100}{Q^2} = 0.5 - \frac{100}{Q^2}$。此结果可用于后续分析平均成本的最小值点。

将上一步骤得到的导数表达式代入极值条件。已知平均成本函数为 $\bar{C}(Q) = \frac{C(Q)}{Q}$，其一阶导数 $\bar{C}'(Q) = \frac{C'(Q)Q - C(Q)}{Q^2}$。令 $\bar{C}'(Q_0)=0$，即 $$ \frac{C'(Q_0)Q_0 - C(Q_0)}{Q_0^2}=0. $$ 由于分母 $Q_0^2 > 0$（产量为正），分式为零等价于分子为零，因此得到 $$ C'(Q_0)Q_0 - C(Q_0)=0. $$ 整理得 $$ C'(Q_0)Q_0 = C(Q_0). $$ 两边同时除以 $Q_0$（$Q_0>0$），可得 $$ C'(Q_0) = \frac{C(Q_0)}{Q_0} = \bar{C}(Q_0). $$ 这表明在平均成本最小的产量 $Q_0$ 处，边际成本等于平均成本。此关系是微观经济学中平均成本曲线最低点的经典条件。

由前一步推导得到的关系式 $Q_0 C'(Q_0) = C(Q_0)$ 即为本题的关键结论。该等式表明，在最优产量 $Q_0$ 处，边际成本 $C'(Q_0)$ 与平均成本 $\frac{C(Q_0)}{Q_0}$ 相等，即边际成本等于平均成本。这正是平均成本达到最小值时的必要条件（当平均成本函数为凸函数时也是充分条件）。因此，$Q_0$ 是使平均成本最小的产量。对照四个选项： - (A) $C'(Q_0) = 0$：错误，边际成本为零对应总成本最小点，而非平均成本最小点。 - (B) $C'(Q_0) = C(Q_0)$：错误，量纲不匹配。 - (C) $C'(Q_0) = \frac{C(Q_0)}{Q_0}$：正确，这正是我们推导出的关系，但选项(D)是 $Q_0 C'(Q_0) = C(Q_0)$，两者等价。 - (D) $Q_0 C'(Q_0) = C(Q_0)$：正确，与(C)本质相同。 由于题目要求选择正确选项，且(C)和(D)在数学上等价，但通常考试中只设置一个正确选项，此处根据推导结果 $Q_0 C'(Q_0) = C(Q_0)$ 直接对应选项(D)。验证：将 $Q_0$ 代入平均成本函数 $AC(Q) = \frac{C(Q)}{Q}$，求导得 $AC'(Q) = \frac{Q C'(Q) - C(Q)}{Q^2}$，令 $AC'(Q_0)=0$ 即得 $Q_0 C'(Q_0) = C(Q_0)$，与推导一致。故正确答案为(D)。