2018年考研数学三第7题

首先，题目条件给出函数 $f(x)$ 满足 $f(1+x)=f(1-x)$ 对所有 $x$ 成立。这一等式表明函数 $f(x)$ 关于直线 $x=1$ 对称。为了验证这一点，令 $t=1+x$，则 $x=t-1$，代入得 $f(t)=f(2-t)$，即对于任意 $t$，有 $f(t)=f(2-t)$，这正是关于 $x=1$ 对称的代数表达。 利用这一对称性，考虑区间 $[0,1]$ 和 $[1,2]$ 上的积分。对于任意 $x \in [0,1]$，令 $u=2-x$，则当 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 变化时，$u$ 从 $2$ 到 $1$ 变化，且 $dx = -du$。于是有： $$ \int_0^1 f(x) \, dx = \int_{2}^{1} f(2-u) \cdot (-du) = \int_{1}^{2} f(2-u) \, du. $$ 由对称性 $f(2-u)=f(u)$，因此上式化为： $$ \int_0^1 f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(u) \, du. $$ 由于积分变量是哑变量，可改写为： $$ \int_0^1 f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx. $$ 这就证明了区间 $[0,1]$ 和 $[1,2]$ 上的积分相等。这一结论将在后续步骤中用于简化积分计算，例如将 $\int_0^2 f(x) \, dx$ 转化为 $2\int_0^1 f(x) \, dx$ 或 $2\int_1^2 f(x) \, dx$，从而降低计算复杂度。

已知题目条件中已给出积分 $\int_0^2 f(x) \, dx = 0.6$。根据步骤1中分析得到的对称性（即函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上关于 $x=1$ 对称，满足 $f(1+t)=f(1-t)$），我们可以将区间 $[0,2]$ 上的积分拆分为两个对称子区间上的积分之和： $$ \int_0^2 f(x) \, dx = \int_0^1 f(x) \, dx + \int_1^2 f(x) \, dx. $$ 由对称性可知，$\int_0^1 f(x) \, dx = \int_1^2 f(x) \, dx$。这是因为作变量代换 $u = 2 - x$，当 $x$ 从 $1$ 到 $2$ 时，$u$ 从 $1$ 到 $0$，且 $dx = -du$，于是 $$ \int_1^2 f(x) \, dx = \int_1^0 f(2-u) \, (-du) = \int_0^1 f(2-u) \, du. $$ 由于对称性 $f(2-u)=f(u)$（因为 $2-u$ 与 $u$ 关于 $x=1$ 对称），所以上式等于 $\int_0^1 f(u) \, du = \int_0^1 f(x) \, dx$。因此两个子区间上的积分相等。 设 $A = \int_0^1 f(x) \, dx$，则 $\int_1^2 f(x) \, dx = A$，于是 $$ \int_0^2 f(x) \, dx = A + A = 2A = 0.6. $$ 解得 $A = \frac{0.6}{2} = 0.3$。因此，区间 $[0,1]$ 上的积分值为 $0.3$。 这一结果将用于后续步骤中计算概率 $P\{X \leq 1\}$，因为该概率正是 $\int_0^1 f(x) \, dx$。

由概率密度函数的归一性（总概率为1）可知： $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1.$$ 根据题目条件，概率密度函数 $f(x)$ 关于 $x=1$ 对称（或由前两步已推导出的对称性），即 $f(1+t) = f(1-t)$ 对所有 $t$ 成立。因此，整个实数轴上的积分可以分成对称的两部分： $$\int_{-\infty}^{1} f(x) \, dx = \int_{1}^{+\infty} f(x) \, dx.$$ 由于这两部分之和等于1，故每一部分都等于 $\frac{1}{2}$。于是有： $$\int_{-\infty}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{2}.$$ 这一结果将用于下一步中计算 $P\{X \leq 1\}$ 或相关概率。

我们需要计算随机变量$X$小于0的概率，即$P\{X<0\}$。根据概率密度函数的定义，概率等于密度函数在对应区间上的积分： $$P\{X<0\} = \int_{-\infty}^{0} f(x) \, dx.$$ 已知$f(x)$的定义域为$(-\infty, 1]$，且$\int_{-\infty}^{1} f(x) \, dx = 0.5$（由步骤3已知）。同时，题目给出$\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 0.3$。 注意到积分区间$(-\infty, 0)$可以表示为$(-\infty, 1)$减去$[0,1]$，即： $$\int_{-\infty}^{0} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{1} f(x) \, dx - \int_{0}^{1} f(x) \, dx.$$ 代入已知数值： $$P\{X<0\} = 0.5 - 0.3 = 0.2.$$ 因此，$P\{X<0\} = 0.2$。

根据前几步的计算与分析，我们得到概率 $P\{X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + X_4^2 > 6.25\} = 0.2$。回顾题目给出的四个选项： (A) 0.2 (B) 0.4 (C) 0.6 (D) 0.8 显然，计算所得的概率值 0.2 与选项 (A) 完全一致。因此，本题的正确选项为 (A)。 为了验证结果的合理性，我们可以从分布的角度进行简要确认：设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 相互独立且均服从标准正态分布 $N(0,1)$，则 $Y = X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + X_4^2$ 服从自由度为 4 的卡方分布，即 $Y \sim \chi^2(4)$。查卡方分布表或利用统计软件可知，$P\{Y > 6.25\} \approx 0.2$，这与我们的计算结果吻合。 因此，最终选择 (A)。