2018年考研数学三第8题

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2, \dots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本，样本容量为 $n$。样本均值定义为 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$。 由正态分布的可加性，独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。具体地，每个 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$ 且相互独立，则 $\sum_{i=1}^{n}X_i \sim N(n\mu, n\sigma^2)$。于是 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ 的期望为 $E(\bar{X}) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu$，方差为 $D(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$。因此 $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。 进一步，对 $\bar{X}$ 进行标准化变换，令 $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，则 $Z \sim N(0,1)$。这一标准化形式在后续的区间估计和假设检验中频繁使用。 本步骤是后续所有推断的基础，正确写出样本均值的分布是解决整个题目的关键第一步。

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$X_1, X_2, \dots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本。样本方差定义为 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$，其中 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 为样本均值。 根据抽样分布定理，对于正态总体，样本方差 $S^2$ 与样本均值 $\bar{X}$ 相互独立，且统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，即 $$ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1). $$ 该结论的推导基于以下事实： 1. 将 $\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$ 分解为 $\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 + n(\bar{X} - \mu)^2$。 2. 已知 $\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 / \sigma^2 \sim \chi^2(n)$，且 $n(\bar{X} - \mu)^2 / \sigma^2 \sim \chi^2(1)$。 3. 由 Cochran 定理或独立性性质可得 $\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 / \sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$，从而 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。 因此，样本方差 $S^2$ 的分布可表示为：$S^2 \sim \frac{\sigma^2}{n-1} \chi^2(n-1)$。

在正态总体假设下，样本均值$\bar{X}$与样本方差$S^2$是相互独立的，这是正态分布的一个重要性质。具体地，设$X_1, X_2, \dots, X_n$是来自正态总体$N(\mu, \sigma^2)$的简单随机样本，则$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$与$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$相互独立。基于这一独立性，我们可以构造服从t分布的统计量。 首先，已知$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，因此标准化后得到： $$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1).$$ 其次，样本方差满足： $$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1).$$ 由于$\bar{X}$与$S^2$独立，所以上述标准正态变量与卡方变量也相互独立。根据t分布的定义，若$Z \sim N(0,1)$，$V \sim \chi^2(k)$，且$Z$与$V$独立，则$\frac{Z}{\sqrt{V/k}} \sim t(k)$。 令$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，$V = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$，$k = n-1$，则构造的t统计量为： $$\frac{\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}/(n-1)}} = \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{S} \sim t(n-1).$$ 该统计量不依赖于未知参数$\sigma$，因此可用于对$\mu$进行区间估计或假设检验。

本步骤的核心任务是分析统计量 $S^*$ 的分布性质，并据此排除选项 (C) 和 (D)。首先回顾 $S^*$ 的定义：$S^{*2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$，其中 $\mu$ 是已知的总体均值。由于 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$ 且相互独立，标准化后 $\frac{X_i - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$，因此 $\sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(n)$。于是有 $\frac{n S^{*2}}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(n)$。这一结论是后续分析的基础。 现在考虑选项 (C)：$\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{S^*} \sim t(n-1)$。t 分布的定义要求分子为标准正态变量，分母为独立的卡方变量除以其自由度后的平方根。这里分子 $\sqrt{n}(\bar{X} - \mu) \sim N(0, \sigma^2)$，但分母 $S^*$ 与 $\bar{X}$ 并不独立。事实上，$\bar{X}$ 和 $S^{*2}$ 都依赖于样本 $X_1,\dots,X_n$，且 $\bar{X}$ 与 $\sum (X_i - \mu)^2$ 相关（因为 $\bar{X}$ 出现在 $\sum (X_i - \mu)^2 = \sum (X_i - \bar{X})^2 + n(\bar{X} - \mu)^2$ 中）。因此，$\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{S^*}$ 的分子与分母不独立，不满足 t 分布的条件，故 (C) 错误。 类似地，选项 (D)：$\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{S^*} \sim t(n)$ 同样错误，因为即使自由度不同，分子与分母的相关性依然存在。实际上，若分母使用 $S$（样本标准差），则 $\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \mu)}{S} \sim t(n-1)$，但这里分母是 $S^*$，其构造不同。因此 (C) 和 (D) 均可排除。 综上，通过分析 $S^*$ 的分布及其与 $\bar{X}$ 的相关性，我们排除了两个干扰项，为下一步确定正确选项奠定了基础。

由步骤3的推导可知，统计量 $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S}$ 服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布，即 $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1)$。 现在对比四个选项： - (A) $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \sim N(0,1)$，这是已知结论，但此处分母为样本标准差 $S$，故不选。 - (B) $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1)$，与步骤3结果完全一致，因此 (B) 正确。 - (C) $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n)$，自由度错误，应为 $n-1$ 而非 $n$。 - (D) $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \sim t(n)$，分母应为 $S$ 且自由度应为 $n-1$，故错误。 因此，正确选项为 (B)。 最终答案验证：由抽样分布理论，当总体方差未知时，用样本标准差 $S$ 代替总体标准差 $\sigma$，则标准化后的统计量服从 $t$ 分布，且自由度为 $n-1$。本题中 $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S}$ 恰好符合这一形式，故 (B) 正确。