2018年考研数学三第9题

首先，我们需要确定函数$f(x)$的定义域。题目中给出的函数表达式包含自然对数项$\ln x$。根据对数函数的定义，真数必须大于0，即$x > 0$。因此，函数$f(x)$的定义域为所有满足$x > 0$的实数集合，即$(0, +\infty)$。注意，这里没有其他限制条件（如分母不为零、偶次根号下非负等），所以定义域就是$(0, +\infty)$。

对函数 $y = x^2 + 2\ln x$ 求一阶导数。根据导数基本公式：$(x^n)' = nx^{n-1}$，$(\ln x)' = \frac{1}{x}$。因此，对第一项 $x^2$ 求导得 $2x$；对第二项 $2\ln x$ 求导得 $2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$。所以一阶导数为 $y' = 2x + \frac{2}{x}$。注意，原函数的定义域为 $x > 0$，因此导数表达式在 $x>0$ 时成立。

已知一阶导数为 $y' = 2x + \frac{2}{x}$。对 $y'$ 再次求导得到二阶导数 $y''$。 首先，将 $y'$ 写成两项之和：$y' = 2x + 2 \cdot x^{-1}$。 对第一项 $2x$ 求导：$(2x)' = 2$。 对第二项 $2 \cdot x^{-1}$ 求导：根据幂函数求导公式 $(x^n)' = n x^{n-1}$，有 $(2 \cdot x^{-1})' = 2 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$。 因此，二阶导数为： $$y'' = 2 + \left(-\frac{2}{x^2}\right) = 2 - \frac{2}{x^2}.$$ 注意：此处 $x \neq 0$，因为原函数定义域中 $x$ 不能为零。

拐点是函数曲线凹凸性发生改变的点，通常通过二阶导数为零且两侧二阶导数异号来判定。已知函数 $y = x^2 - 2\ln x$（$x>0$），已求得一阶导数 $y' = 2x - \frac{2}{x}$，二阶导数 $y'' = 2 + \frac{2}{x^2}$。令 $y'' = 0$，即 $2 - \frac{2}{x^2} = 0$，整理得 $2 = \frac{2}{x^2}$，两边乘以 $x^2$（$x>0$）得 $2x^2 = 2$，解得 $x^2 = 1$，故 $x = 1$（负根舍去，因为定义域 $x>0$）。将 $x=1$ 代入原函数：$y = 1^2 - 2\ln 1 = 1 - 0 = 1$。因此得到可能的拐点坐标为 $(1,1)$。为确认该点是否为拐点，需验证 $y''$ 在 $x=1$ 左右两侧的符号。取 $x=0.5$（$<1$），$y''(0.5) = 2 - \frac{2}{0.5^2} = 2 - \frac{2}{0.25} = 2 - 8 = -6 < 0$，曲线在该区间为凸；取 $x=2$（$>1$），$y''(2) = 2 - \frac{2}{2^2} = 2 - \frac{2}{4} = 2 - 0.5 = 1.5 > 0$，曲线在该区间为凹。由于 $y''$ 在 $x=1$ 两侧由负变正，故 $(1,1)$ 确为拐点。

本步骤的目标是求出曲线在点 $(1, f(1))$ 处的切线斜率。在上一节中，我们已经求出了导函数 $y' = 2x + \frac{2}{x}$。根据导数的几何意义，函数在某点处的导数值等于该点处切线的斜率。因此，我们只需将 $x=1$ 代入导函数 $y'$ 中，即可得到所求的斜率 $k$。\n\n代入计算过程如下：\n\n$$k = y'(1) = 2 \times 1 + \frac{2}{1} = 2 + 2 = 4.$$\n\n因此，曲线在点 $(1, f(1))$ 处的切线斜率为 $4$。这个结果将用于下一步求切线方程。

在得到切线的斜率$k=4$和切点$(1,1)$后，利用直线的点斜式方程写出切线方程。点斜式方程为：$y - y_0 = k(x - x_0)$，其中$(x_0, y_0)$为切点坐标，$k$为斜率。代入$x_0=1$，$y_0=1$，$k=4$，得： $$y - 1 = 4(x - 1)$$ 展开并化简： $$y - 1 = 4x - 4$$ $$y = 4x - 4 + 1$$ $$y = 4x - 3$$ 因此，所求切线方程为$y = 4x - 3$。 **验证**：将$x=1$代入切线方程，得$y=4\times1-3=1$，与切点纵坐标一致；切线斜率$4$等于函数在$x=1$处的导数值，故结果正确。