2010年考研数学一第10题

首先，观察原积分 $\int_0^{\pi^2} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \, dx$，被积函数中含有 $\sqrt{x}$，直接积分较为复杂。因此，我们采用变量代换法，令 $t = \sqrt{x}$，即 $x = t^2$。对 $x = t^2$ 两边求微分得 $dx = 2t \, dt$。同时，积分限需要相应变换：当 $x = 0$ 时，$t = \sqrt{0} = 0$；当 $x = \pi^2$ 时，$t = \sqrt{\pi^2} = \pi$。于是，原积分中的 $\sqrt{x}$ 变为 $t$，$\cos \sqrt{x}$ 变为 $\cos t$，$dx$ 替换为 $2t \, dt$。代入后得到： $$\int_0^{\pi^2} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \, dx = \int_0^{\pi} t \cdot \cos t \cdot 2t \, dt = \int_0^{\pi} 2t^2 \cos t \, dt = 2 \int_0^{\pi} t^2 \cos t \, dt.$$ 这样，原积分被简化为一个关于 $t$ 的定积分 $2\int_0^{\pi} t^2 \cos t \, dt$，被积函数为多项式与三角函数的乘积，便于后续使用分部积分法求解。

本步骤对积分 $\int_{0}^{\pi} t^2 \cos t \, dt$ 应用分部积分法。令 $u = t^2$，$dv = \cos t \, dt$，则 $du = 2t \, dt$，$v = \sin t$。根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，有： $$ \int_{0}^{\pi} t^2 \cos t \, dt = \left[ t^2 \sin t \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \sin t \cdot 2t \, dt. $$ 计算边界项：当 $t = \pi$ 时，$\sin \pi = 0$，故 $\pi^2 \sin \pi = 0$；当 $t = 0$ 时，$0^2 \sin 0 = 0$。因此边界项 $\left[ t^2 \sin t \right]_{0}^{\pi} = 0 - 0 = 0$。于是积分化为： $$ \int_{0}^{\pi} t^2 \cos t \, dt = - \int_{0}^{\pi} 2t \sin t \, dt = -2 \int_{0}^{\pi} t \sin t \, dt. $$ 注意题目中原始表达式为 $2 \int_{0}^{\pi} t^2 \cos t \, dt$，因此需乘以系数2： $$ 2 \int_{0}^{\pi} t^2 \cos t \, dt = 2 \left( -2 \int_{0}^{\pi} t \sin t \, dt \right) = -4 \int_{0}^{\pi} t \sin t \, dt. $$ 至此，第一次分部积分完成，将原积分转化为 $ -4 \int_{0}^{\pi} t \sin t \, dt$，为下一步再次应用分部积分做好准备。

在第二步中，我们已将原积分转化为 $\int_0^\pi t \sin t \, dt$。现在对 $\int_0^\pi t \sin t \, dt$ 再次应用分部积分法。令 $u = t$，$dv = \sin t \, dt$，则 $du = dt$，$v = -\cos t$。根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，有： $$ \int_0^\pi t \sin t \, dt = \left[ -t \cos t \right]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos t) \, dt = \left[ -t \cos t \right]_0^\pi + \int_0^\pi \cos t \, dt. $$ 计算边界项：当 $t = \pi$ 时，$-\pi \cos \pi = -\pi \cdot (-1) = \pi$；当 $t = 0$ 时，$-0 \cdot \cos 0 = 0$。因此 $\left[ -t \cos t \right]_0^\pi = \pi - 0 = \pi$。 再计算 $\int_0^\pi \cos t \, dt = \left[ \sin t \right]_0^\pi = \sin \pi - \sin 0 = 0 - 0 = 0$。 所以 $\int_0^\pi t \sin t \, dt = \pi + 0 = \pi$。

将上一步得到的积分结果代入原式。上一步已计算出定积分值为 $\pi$，且该结果前面乘以系数 $-4$，因此最终结果为： $$-4 \times \pi = -4\pi$$ 验证：检查积分过程，被积函数为 $\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ 在区间 $[-2,2]$ 上的积分，其原函数为 $\arcsin\frac{x}{2}$，代入上下限得 $\arcsin 1 - \arcsin(-1) = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$，乘以 $-4$ 后确为 $-4\pi$。 因此，最终答案为 $-4\pi$。