2010年考研数学一第9题

首先，我们需要求出参数方程中$x$和$y$关于参数$t$的导数。已知$x = e^{-t}$，这是一个简单的指数函数，直接对$t$求导： $$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(e^{-t}\right) = e^{-t} \cdot (-1) = -e^{-t}.$$ 接下来，$y = \int_0^t \ln(1+u^2)\,du$，这是一个变上限积分函数。根据微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），对变上限积分求导时，被积函数中的变量直接替换为上限变量，即： $$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\int_0^t \ln(1+u^2)\,du = \ln(1+t^2).$$ 因此，我们得到： $$\frac{dx}{dt} = -e^{-t}, \quad \frac{dy}{dt} = \ln(1+t^2).$$

已知参数方程为： $$x = e^{-t}, \quad y = \int_{0}^{t} \ln(1+u^2) \, du$$ 首先，分别求出 $x$ 和 $y$ 对参数 $t$ 的导数。 对 $x = e^{-t}$ 求导，得： $$\frac{dx}{dt} = -e^{-t}$$ 对 $y = \int_{0}^{t} \ln(1+u^2) \, du$ 求导，由微积分基本定理，得： $$\frac{dy}{dt} = \ln(1+t^2)$$ 根据参数方程求导公式，一阶导数 $\frac{dy}{dx}$ 为： $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\ln(1+t^2)}{-e^{-t}}$$ 化简得： $$\frac{dy}{dx} = -e^{t} \ln(1+t^2)$$ 因此，一阶导数 $\frac{dy}{dx} = -e^{t} \ln(1+t^2)$。

由前一步已求得 $\frac{dy}{dx} = -e^t \ln(1+t^2)$。现在需要将 $\frac{dy}{dx}$ 视为 $t$ 的函数，对 $t$ 求导，即计算 $\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)$。 设 $u(t) = -e^t \ln(1+t^2)$，则 $\frac{du}{dt} = -\frac{d}{dt}\left[e^t \ln(1+t^2)\right]$。 应用乘积法则：对 $e^t \ln(1+t^2)$ 求导，得 $$ \frac{d}{dt}\left[e^t \ln(1+t^2)\right] = e^t \cdot \ln(1+t^2) + e^t \cdot \frac{d}{dt}\left[\ln(1+t^2)\right]. $$ 而 $\frac{d}{dt}\left[\ln(1+t^2)\right] = \frac{1}{1+t^2} \cdot 2t = \frac{2t}{1+t^2}$。 因此 $$ \frac{d}{dt}\left[e^t \ln(1+t^2)\right] = e^t \ln(1+t^2) + e^t \cdot \frac{2t}{1+t^2}. $$ 于是 $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = -\left[e^t \ln(1+t^2) + \frac{2t e^t}{1+t^2}\right]. $$ 整理得 $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = -e^t \ln(1+t^2) - \frac{2t e^t}{1+t^2}. $$

已知参数方程 $x = \ln(1+t^2)$，$y = t - \arctan t$，且已求得一阶导数 $\frac{dy}{dx} = \frac{t}{2}$。现在求二阶导数 $\frac{d^2y}{dx^2}$。 利用参数方程二阶导数公式： $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}.$$ 首先计算 $\frac{dx}{dt}$：由 $x = \ln(1+t^2)$ 得 $$\frac{dx}{dt} = \frac{2t}{1+t^2}.$$ 然后计算 $\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)$：已知 $\frac{dy}{dx} = \frac{t}{2}$，所以 $$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{1}{2}.$$ 代入公式得 $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2t}{1+t^2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1+t^2}{2t} = \frac{1+t^2}{4t}.$$ 因此，二阶导数为 $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1+t^2}{4t}$。

本步骤将 $t=0$ 代入表达式 $\ln(1+t) - \frac{2t}{1+t}$ 中求值。 首先计算 $\ln(1+t)$ 在 $t=0$ 时的值： $$\ln(1+0) = \ln 1 = 0.$$ 接着计算 $\frac{2t}{1+t}$ 在 $t=0$ 时的值： $$\frac{2\cdot 0}{1+0} = \frac{0}{1} = 0.$$ 因此，整个表达式的值为： $$\ln(1+0) - \frac{2\cdot 0}{1+0} = 0 - 0 = 0.$$ 最终结果为 $0$。 验证：由于 $t=0$ 是原极限问题中变量替换后的特殊点，代入后得到 $0$，说明该表达式在 $t=0$ 处取值为零，与极限计算中的中间结果一致。