2010年考研数学一第8题

根据题目条件，已知两个随机变量$X$和$Y$分别服从不同的分布。首先，$X$服从标准正态分布$N(0,1)$，其概率密度函数为： $$f_1(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}, \quad -\infty < x < +\infty$$ 其次，$Y$服从区间$[-1,3]$上的均匀分布，其概率密度函数在区间内为常数，区间长度为$3 - (-1) = 4$，因此密度值为$\frac{1}{4}$，在区间外为$0$，即： $$f_2(y) = \begin{cases} \frac{1}{4}, & -1 \leq y \leq 3 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ 这两个密度函数是后续计算联合分布、边缘分布以及条件概率的基础。注意标准正态分布的密度函数在整个实数轴上非零，而均匀分布的密度只在有限区间上非零，因此在后续积分中需要根据$y$的取值范围确定积分限。

根据概率密度函数的归一性，有 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。已知 $f(x)$ 为分段函数： $$f(x) = \begin{cases} a f_1(x), & x < 0 \\ b f_2(x), & x \ge 0 \end{cases}$$ 其中 $f_1(x) = \frac{1}{2} e^{x}$（当 $x<0$），$f_2(x) = \frac{1}{2} e^{-x}$（当 $x \ge 0$）。将积分按分段区间拆开： $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = a \int_{-\infty}^{0} f_1(x) \, dx + b \int_{0}^{+\infty} f_2(x) \, dx = 1$$ 先计算第一个积分： $$\int_{-\infty}^{0} f_1(x) \, dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{2} e^{x} \, dx = \frac{1}{2} \left[ e^{x} \right]_{-\infty}^{0} = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}$$ 再计算第二个积分： $$\int_{0}^{+\infty} f_2(x) \, dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2} e^{-x} \, dx = \frac{1}{2} \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{+\infty} = \frac{1}{2} (0 - (-1)) = \frac{1}{2}$$ 因此归一化条件化为： $$a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \frac{1}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{a+b}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a + b = 2$$ 此方程给出了参数 $a$ 与 $b$ 之间的第一个关系式，为后续步骤求解具体数值提供基础。

本步骤的目标是计算左段积分 $\int_{-\infty}^{0} f_1(x) \, dx$，其中 $f_1(x)$ 是标准正态分布的概率密度函数。标准正态分布的密度函数为 $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$，其图形关于 $x=0$ 对称。由于对称性，整个实数轴上的积分等于1，即 $\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) \, dx = 1$。因为密度函数是偶函数，所以左右两半的面积相等：$\int_{-\infty}^{0} \varphi(x) \, dx = \int_{0}^{+\infty} \varphi(x) \, dx$。因此，左段积分等于总面积的一半，即 $\frac{1}{2}$。所以 $\int_{-\infty}^{0} f_1(x) \, dx = \frac{1}{2}$。这一结果直接由标准正态分布的对称性得出，无需进行复杂的积分计算。

本步骤的目标是计算右段函数 $f_2(x)$ 在 $x>0$ 上的积分。根据题目条件，$f_2(x)$ 仅在区间 $[0,3]$ 上非零，且在该区间内取常数值 $\frac{1}{4}$，即： $$f_2(x) = \begin{cases} \frac{1}{4}, & 0 \le x \le 3 \\ 0, & x > 3 \end{cases}$$ 因此，右段积分可以写为： $$\int_{0}^{+\infty} f_2(x) \, dx = \int_{0}^{3} \frac{1}{4} \, dx + \int_{3}^{+\infty} 0 \, dx$$ 由于第二项为零，只需计算第一项： $$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} \, dx = \frac{1}{4} \cdot (3 - 0) = \frac{3}{4}$$ 所以右段积分的值为 $\frac{3}{4}$。这个结果表示 $f_2(x)$ 在正半轴上的总概率质量，与左段积分共同构成整个概率密度函数的归一化条件。

将上一步得到的系数代入方程。已知 $a = \frac{1}{2}$，$b = \frac{3}{4}$，代入方程 $a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \frac{3}{4} = 1$，得到： $$ a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \frac{3}{4} = 1 $$ 代入具体数值： $$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = 1 $$ 计算左边： $$ \frac{1}{4} + \frac{9}{16} = \frac{4}{16} + \frac{9}{16} = \frac{13}{16} $$ 显然 $\frac{13}{16} \neq 1$，说明直接代入数值并不满足方程。实际上，这里的 $a$ 和 $b$ 是待定系数，我们需要利用已知条件建立关于 $a$ 和 $b$ 的方程。根据题意，方程 $a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \frac{3}{4} = 1$ 是已知条件，因此我们直接处理这个方程： $$ a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \frac{3}{4} = 1 $$ 为了消去分母，两边同时乘以 $4$： $$ 4 \cdot \left( a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \frac{3}{4} \right) = 4 \cdot 1 $$ 展开左边： $$ 4 \cdot a \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot b \cdot \frac{3}{4} = 4 $$ 化简各项： $$ 2a + 3b = 4 $$ 因此，我们得到了关于 $a$ 和 $b$ 的线性方程 $2a + 3b = 4$。 最终，该方程与选项 (A) 一致，故答案为 (A)。