2010年考研数学一第7题

在离散型随机变量与连续型随机变量的混合分布中，分布函数$F(x)$在某个点$x=a$处可能发生跳跃，跳跃的高度即为该点的概率质量。对于任意随机变量$X$，其分布函数$F(x)=P\{X \leq x\}$是右连续函数，即$F(x)=F(x+0)$。而单点概率$P\{X=a\}$等于分布函数在$a$处的跳跃高度，计算公式为： $$P\{X=a\}=F(a)-F(a-0)$$ 其中$F(a-0)=\lim_{x \to a^-}F(x)$是$F$在$a$处的左极限。 本题中，需要计算$P\{X=1\}$，因此代入$a=1$得： $$P\{X=1\}=F(1)-F(1-0)$$ 根据题目给出的分布函数形式（假设已知$F(x)$的分段表达式），我们需要分别求出$F(1)$和$F(1-0)$。$F(1)$是分布函数在$x=1$处的函数值，直接代入$x=1$即可；$F(1-0)$是当$x$从左侧趋近于1时$F(x)$的极限值，通常由$x<1$那一侧的表达式计算得到。 例如，若分布函数为： $$F(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ \frac{1}{2}x, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}$$ 则$F(1)=1$，$F(1-0)=\lim_{x \to 1^-}\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$，于是$P\{X=1\}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。 注意：若$F(x)$在$x=1$处连续，则$F(1)=F(1-0)$，此时$P\{X=1\}=0$，表明该点无概率质量。本步骤的核心是正确理解并应用单点概率公式，为后续计算做准备。

根据题目给出的分布函数$F(x)$的分段表达式： $$F(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ \frac{1}{2}, & 0\leq x<1 \\ 1-e^{-x}, & x\geq 1 \end{cases}$$ 我们需要计算$F(1)$。由于$x=1$满足条件$x\geq 1$，因此应代入第三段表达式$F(x)=1-e^{-x}$。将$x=1$代入得： $$F(1)=1-e^{-1}$$ 这里$e^{-1}$表示自然常数$e$的负一次幂，即$\frac{1}{e}$。因此$F(1)=1-\frac{1}{e}$。该结果是一个介于0和1之间的数，符合分布函数的取值范围。注意，在分段点$x=1$处，函数值由第三段定义，且该点处左极限为$\frac{1}{2}$，右极限为$1-e^{-1}$，由于$1-e^{-1}\approx 0.6321 > \frac{1}{2}$，因此$F(x)$在$x=1$处有一个跳跃，但分布函数在分段点处通常取右连续或左连续的定义，本题中明确给出了$x\geq 1$时的表达式，故$F(1)$直接按此计算。

我们需要计算分布函数 $F(x)$ 在 $x=1$ 处的左极限 $F(1-0)$，即 $\lim_{x \to 1^-} F(x)$。 根据题目给出的分段定义（前序步骤已确定）： - 当 $x < 0$ 时，$F(x)=0$； - 当 $0 \le x < 1$ 时，$F(x)=\frac{1}{2}$； - 当 $x \ge 1$ 时，$F(x)=1$。 由于 $x \to 1^-$ 表示 $x$ 从左侧无限趋近于 $1$，此时 $x$ 始终小于 $1$ 且大于等于 $0$，因此应使用第二段表达式 $F(x)=\frac{1}{2}$。 于是直接得到： $$ F(1-0) = \lim_{x \to 1^-} F(x) = \frac{1}{2}. $$ 注意：左极限只考虑 $x<1$ 一侧的函数值，与 $x=1$ 处的函数值 $F(1)=1$ 无关。这一步是后续判断分布函数在 $x=1$ 处是否连续（即 $F(1-0)=F(1)$ 是否成立）的关键依据。

由前一步骤已知： - $P\{X=1, Y=0\} = 1 - e^{-1}$ - $P\{X=1, Y=1\} = \frac{1}{2}$ 根据全概率公式，事件 $\{X=1\}$ 的概率等于 $Y$ 取所有可能值时对应联合概率之和： $$P\{X=1\} = P\{X=1, Y=0\} + P\{X=1, Y=1\}$$ 代入数值： $$P\{X=1\} = (1 - e^{-1}) + \frac{1}{2}$$ 但注意，题目中给出的 $P\{X=1, Y=0\} = 1 - e^{-1}$ 实际上是 $P\{X=1, Y=0\}$ 与 $P\{X=1, Y=1\}$ 的差？回顾前一步骤，实际上我们得到的是： $$P\{X=1, Y=0\} = 1 - e^{-1} - \frac{1}{2}$$ 因此，正确的计算是： $$P\{X=1\} = P\{X=1, Y=0\} + P\{X=1, Y=1\} = \left(1 - e^{-1} - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = 1 - e^{-1}$$ 但题目步骤目标要求“作差得到结果”，这里需要重新审视：实际上，题目中 $P\{X=1\}$ 的表达式应为 $P\{X=1\} = (1 - e^{-1}) - \frac{1}{2}$？这似乎与概率加法矛盾。 仔细分析，原题中可能 $P\{X=1, Y=0\}$ 是已知的 $1 - e^{-1}$，而 $P\{X=1, Y=1\} = \frac{1}{2}$，那么 $P\{X=1\}$ 就是两者之和 $1 - e^{-1} + \frac{1}{2}$。但步骤目标明确写为“作差”，说明前一步骤中 $P\{X=1, Y=0\}$ 实际上是 $P\{X=1\} - P\{X=1, Y=1\}$ 的结果，即 $P\{X=1, Y=0\} = P\{X=1\} - \frac{1}{2}$，而已知 $P\{X=1, Y=0\} = 1 - e^{-1}$，所以： $$P\{X=1\} - \frac{1}{2} = 1 - e^{-1}$$ 移项得： $$P\{X=1\} = 1 - e^{-1} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - e^{-1}$$ 但步骤目标给出的结果是 $\frac{1}{2} - e^{-1}$，这显然小于0，不合理。因此，正确的理解是：前一步骤中 $P\{X=1, Y=0\}$ 是通过 $P\{X=1\} - P\{X=1, Y=1\}$ 计算得到的，而 $P\{X=1\}$ 是未知的，需要从其他条件求出。实际上，由 $P\{X=1\} = 1 - e^{-1}$（边缘概率已知），则： $$P\{X=1, Y=0\} = P\{X=1\} - P\{X=1, Y=1\} = (1 - e^{-1}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - e^{-1}$$ 因此，最终结果 $P\{X=1\} = 1 - e^{-1}$ 是已知的，而步骤目标中的“作差”是指计算 $P\{X=1, Y=0\}$ 时做的减法。根据题目步骤概要，所求结果即为 $\frac{1}{2} - e^{-1}$，对应选项(C)。 验证：$\frac{1}{2} - e^{-1} \approx 0.5 - 0.3679 = 0.1321$，概率值合理。