2010年考研数学一第6题

设矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$，对应的特征向量为 $\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$），则有 $A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$。 已知条件 $A^2 + A = O$，即 $A^2 = -A$。将特征值关系代入： $$A^2 \boldsymbol{x} = A(A\boldsymbol{x}) = A(\lambda \boldsymbol{x}) = \lambda A\boldsymbol{x} = \lambda^2 \boldsymbol{x}.$$ 另一方面，由 $A^2 + A = O$ 可得 $A^2 \boldsymbol{x} + A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，即 $$\lambda^2 \boldsymbol{x} + \lambda \boldsymbol{x} = (\lambda^2 + \lambda)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}.$$ 由于特征向量 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$，因此系数必须为零： $$\lambda^2 + \lambda = 0.$$ 解此一元二次方程： $$\lambda(\lambda + 1) = 0,$$ 得到 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = -1$。 所以矩阵 $A$ 的特征值只可能取 $0$ 或 $-1$。注意，这里仅推导了特征值的可能取值，并未确定每个特征值的重数或具体分布，后续步骤将结合其他条件进一步分析。

已知 $A$ 是4阶实对称矩阵，因此 $A$ 必可对角化，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda$，其中 $\Lambda$ 是对角矩阵，对角线上元素为 $A$ 的特征值。 题目给出 $A$ 的秩为3。对于可对角化的矩阵，秩等于非零特征值的个数（计入代数重数）。因为 $A$ 是4阶矩阵，秩为3，所以恰好有3个非零特征值，1个零特征值。零特征值的代数重数为1。 另外，已知 $A$ 有一个特征值 $-1$，且 $-1$ 对应的特征空间维数（几何重数）为3。由于 $A$ 可对角化，每个特征值的几何重数等于代数重数。因此 $-1$ 的代数重数等于其几何重数，即3。 综上，$A$ 的特征值为：$-1$（3重），$0$（1重）。