2010年考研数学一第5题

已知 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，且满足 $AB = E$，其中 $E$ 为 $m$ 阶单位矩阵。根据矩阵秩的性质，对于任意两个可乘矩阵 $X$ 和 $Y$，有 $r(XY) \leq \min\{r(X), r(Y)\}$，且当 $X$ 或 $Y$ 为满秩时等号成立。但此处我们直接利用已知乘积的结果：因为 $AB$ 等于单位矩阵 $E$，而单位矩阵的秩等于其阶数，即 $r(E) = m$。因此，由 $AB = E$ 可得 $r(AB) = r(E) = m$。这一结论是后续推导的基础，它表明 $AB$ 的秩达到了最大值 $m$，从而可以进一步推断 $A$ 和 $B$ 的秩至少为 $m$。

已知 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，且 $AB = E_m$（$m$ 阶单位矩阵）。我们需要利用秩的不等式来推导 $r(A)$ 和 $r(B)$ 的下界。 首先，由矩阵乘积的秩不等式：对于任意可乘的矩阵 $X$ 和 $Y$，有 $r(XY) \leq \min\{r(X), r(Y)\}$。特别地，$r(AB) \leq r(A)$ 且 $r(AB) \leq r(B)$。 已知 $AB = E_m$，而单位矩阵 $E_m$ 的秩为 $m$，即 $r(AB) = m$。代入不等式得： $$ m = r(AB) \leq r(A) \quad \text{且} \quad m = r(AB) \leq r(B). $$ 因此，$r(A) \geq m$ 且 $r(B) \geq m$。 另一方面，由于 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，其秩不可能超过行数 $m$ 和列数 $n$ 中的较小者，即 $r(A) \leq \min\{m, n\}$。同理，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，$r(B) \leq \min\{n, m\}$。结合下界 $r(A) \geq m$ 和 $r(B) \geq m$，我们得到： $$ r(A) = m, \quad r(B) = m. $$ 这里我们实际上已经得到了秩的精确值，但本步骤的目标是仅利用秩的不等式得到下界，因此我们只需记录 $r(A) \geq m$ 和 $r(B) \geq m$ 这一结论。

已知 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵。矩阵的秩不超过其行数和列数中的较小者，即对于任意矩阵 $X$，有 $r(X) \leq \min\{\text{行数},\text{列数}\}$。 对于 $A$：行数为 $m$，列数为 $n$，因此 $r(A) \leq \min\{m,n\}$。特别地，$r(A) \leq m$。 对于 $B$：行数为 $n$，列数为 $m$，因此 $r(B) \leq \min\{n,m\}$。同样地，$r(B) \leq m$。 由于 $AB$ 是 $m \times m$ 方阵，且 $r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$，结合上述不等式可得 $r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\} \leq m$。 因此，$AB$ 的秩的上界为 $m$。若 $AB$ 可逆，则 $r(AB)=m$，故 $r(A)=r(B)=m$ 是必要条件。

由前两步已知矩阵$A$的秩满足$r(A) \geq m$（因为$A$是$m \times n$矩阵且行向量线性无关，或由$AB=E$推出$A$行满秩）和$r(A) \leq m$（因为秩不超过行数），因此综合上下界可得$r(A) = m$。同理，矩阵$B$的秩满足$r(B) \geq m$（因为$B$是$n \times m$矩阵且列向量线性无关，或由$AB=E$推出$B$列满秩）和$r(B) \leq m$（因为秩不超过列数），故$r(B) = m$。于是$A$和$B$的秩均为$m$，即$A$行满秩，$B$列满秩。

根据前几步的分析，我们已知矩阵$A$是$m \times n$矩阵，矩阵$B$是$n \times m$矩阵，且$AB = E_m$（$m$阶单位矩阵）。 首先，由$AB = E_m$可知，$A$的秩$r(A)$满足$r(A) \geq r(E_m) = m$，又因为$A$是$m \times n$矩阵，其秩不可能超过行数$m$，故$r(A) = m$。同理，$B$的秩$r(B)$满足$r(B) \geq r(E_m) = m$，而$B$是$n \times m$矩阵，其秩不可能超过列数$m$，故$r(B) = m$。 现在逐一验证四个选项： - 选项(A)：$r(A) = m$且$r(B) = m$。这正是我们推导出的结论，因此(A)正确。 - 选项(B)：$r(A) = m$且$r(B) = n$。由于$B$的秩为$m$，而$n$不一定等于$m$，故$r(B) = n$不一定成立，除非$n=m$，但题目未给出此条件，因此(B)不一定正确。 - 选项(C)：$r(A) = n$且$r(B) = m$。$A$的秩为$m$，而$n$不一定等于$m$，故$r(A)=n$不一定成立，因此(C)错误。 - 选项(D)：$r(A) = n$且$r(B) = n$。$A$的秩为$m$，$B$的秩为$m$，而$n$不一定等于$m$，故两者均不一定成立，因此(D)错误。 综上，只有选项(A)与推导结果完全一致，故选择(A)。 最终答案验证：由$AB = E_m$可推出$r(A)=m$，$r(B)=m$，且$m \leq n$（因为$A$的秩不超过行数和列数中的较小者，$r(A)=m$要求$m \leq n$），选项(A)准确描述了这一结论。