2010年考研数学一第4题

首先，我们分析题目中给出的极限表达式。通常这类极限问题可以通过将和式转化为定积分来处理。我们考虑一个典型的二重求和形式： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}\right) $$ 本题中，被积函数为 $f(x,y) = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{1+y^2}$。因此，原极限可以改写为： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{i}{n}} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{j}{n}\right)^2} $$ 为了更清晰地看出定积分的形式，我们将求和项分解为两个独立的部分： $$ \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{i}{n}} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{j}{n}\right)^2} = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{i}{n}} \right) \cdot \left( \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{1+\left(\frac{j}{n}\right)^2} \right) $$ 这里利用了求和的可分离性，因为两个求和变量 $i$ 和 $j$ 相互独立，且被积函数可以写成 $g(i/n) \cdot h(j/n)$ 的形式。 现在，我们分别识别两个和式的定积分定义。对于第一个和式： $$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{i}{n}} $$ 当 $n \to \infty$ 时，它趋近于定积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx$。这是因为 $\frac{i}{n}$ 在区间 $[0,1]$ 上均匀取点，步长为 $\frac{1}{n}$。 对于第二个和式： $$ \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{1+\left(\frac{j}{n}\right)^2} $$ 类似地，它趋近于定积分 $\int_0^1 \frac{1}{1+y^2} \, dy$。 因此，原极限可以表示为两个定积分的乘积： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{i}{n}} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{j}{n}\right)^2} = \left( \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx \right) \cdot \left( \int_0^1 \frac{1}{1+y^2} \, dy \right) $$ 至此，我们成功将二重求和转化为了两个定积分的乘积形式，为下一步计算积分值做好了准备。

由步骤1可知，原极限可化为： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)\left(1+\frac{j^2}{n^2}\right)}. $$ 现在将二重积分与黎曼和对应。令 $x = \frac{i}{n}$，$y = \frac{j}{n}$。当 $i$ 从 $1$ 到 $n$ 时，$x$ 从 $\frac{1}{n}$ 到 $1$，当 $n \to \infty$ 时，$x$ 的取值区间趋于 $[0,1]$；同理，$j$ 从 $1$ 到 $n$ 时，$y$ 从 $\frac{1}{n}$ 到 $1$，趋于 $[0,1]$。因此，积分区域为正方形 $[0,1] \times [0,1]$。 被积函数为 $\frac{1}{(1+x)(1+y^2)}$，且 $\frac{1}{n^2}$ 对应面积微元 $\Delta x \Delta y = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}$。于是，原极限等于二重积分： $$ \iint_{[0,1]\times[0,1]} \frac{1}{(1+x)(1+y^2)} \, dxdy. $$ 由于被积函数可分离变量，该二重积分可化为两个定积分的乘积： $$ \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx \cdot \int_0^1 \frac{1}{1+y^2} \, dy. $$ 分别计算： $$ \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \ln(1+x)\Big|_0^1 = \ln 2, $$ $$ \int_0^1 \frac{1}{1+y^2} \, dy = \arctan y \Big|_0^1 = \frac{\pi}{4}. $$ 因此原极限值为 $\frac{\pi}{4} \ln 2$。 现在对照选项： - (A) $\int_0^1 \frac{dx}{(1+x)(1+y^2)}$ 缺少 $dy$，不是二重积分。 - (B) $\int_0^1 \frac{dx}{(1+x)(1+y^2)} \int_0^1 dy$ 写法不规范。 - (C) $\int_0^1 \frac{dx}{1+x} \int_0^1 \frac{dy}{1+y^2}$ 正是我们得到的分离形式，但原极限对应的二重积分是 $\iint \frac{1}{(1+x)(1+y^2)} dxdy$，而选项(C)是乘积形式，二者相等，但题目要求的是二重积分表达式，选项(D) $\iint_{[0,1]\times[0,1]} \frac{1}{(1+x)(1+y^2)} dxdy$ 直接对应黎曼和，因此正确选项为(D)。 最终答案：选项D。