2010年考研数学一第3题

选择题 · 4分

📝 题目

设 $m, n$ 均是正整数，则反常积分 $\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{\sqrt[m]{\ln ^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性

仅与 $m$ 的取值有关．

仅与 $n$ 的取值有关．

与 $m, n$ 的取值都有关。

与 $m, n$ 的取值都无关。

💡 答案解析

[答案] D

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【解析】 $x=0$ 与 $x=1$ 都是瑕点．应分成

$$ \int_0^1 \frac{\sqrt[m]{\ln ^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} d x=\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt[n]{\ln ^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} d x+\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{\sqrt[m]{\ln ^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} d x, $$ 用比较判别法的极限形式，对于 $\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{2}} \displaystyle\frac{\sqrt[m]{\ln ^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} d x$ ，由于 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\left[\ln ^2(1-x)\right]^{\displaystyle\frac{1}{m}}}{x^{\displaystyle\frac{1}{n}}}}{\displaystyle\frac{1}{x^{\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{2}{m}}}}=1$ ．显然，当 $0<\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{2}{m}<1$ ，则该反常积分收敛．当 $\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{2}{m} \leq 0, \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\left[\ln ^2(1-x)\right]^{\displaystyle\frac{1}{m}}}{x^{\displaystyle\frac{1}{n}}}$ 存在，此时 $\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{2}} \displaystyle\frac{\sqrt[m]{\ln ^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} d x$ 实际上不是反常积分，故收敛。

故不论 $m, n$ 是什么正整数， $\displaystyle\int_0^{\displaystyle\frac{1}{2}} \displaystyle\frac{\sqrt[m]{\ln ^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} d x$ 总收敛．对于 $\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{1}{2}}^1 \displaystyle\frac{\sqrt[m]{\ln ^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} d x$ ，取 $0<\delta<1$ ，不论 $m, n$ 是什么正整数，

$$ \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{\frac{\left[\ln ^2(1 \quad x)\right]^{\frac{1}{m}}}{x^{\frac{1}{n}}}}{\frac{1}{(1-x)^\delta}}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \ln ^2(1-x)^{\frac{1}{m}}(1-x)^\delta=0, $$

所以 $\displaystyle\int_{\displaystyle\frac{1}{2}}^1 \displaystyle\frac{\sqrt[m]{\ln ^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}} d x$ 收敛，故选（D）。

📋 详细解题步骤

步骤 1/2

目标：确定瑕点并分析被积函数在瑕点附近的阶数

首先，确定被积函数 $f(x)=\frac{\sqrt[m]{\ln^2(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}$ 的瑕点。由于分母中有 $\sqrt[n]{x}$，当 $x\to 0^+$ 时，分母趋于 $0$，因此 $x=0$ 是一个瑕点。另外，分子中有 $\ln(1-x)$，当 $x\to 1^-$ 时，$\ln(1-x)\to -\infty$，且 $\sqrt[m]{\ln^2(1-x)}$ 趋于无穷，同时分母 $\sqrt[n]{x}$ 趋于 $1$，故 $x=1$ 也是瑕点。接下来分析 $x\to 0^+$ 时被积函数的阶数。利用等价无穷小：$\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$，$\ln^2(1-x)\sim x^2$（因为 $\ln(1-x)\sim -x$），因此 $\sqrt[m]{\ln^2(1-x)}\sim (x^2)^{1/m}=x^{2/m}$。于是被积函数 $f(x)\sim \frac{x^{2/m}}{x^{1/n}}=x^{2/m-1/n}$。根据瑕积分收敛判别法，当 $x\to 0^+$ 时，若 $2/m-1/n > -1$，即 $\frac{2}{m}+\frac{1}{n}>1$ 时，积分收敛；否则发散。再分析 $x\to 1^-$ 时的情况。令 $t=1-x$，则 $t\to 0^+$，$x=1-t$，$\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{1-t}\sim 1$，$\ln(1-x)=\ln t$，故 $\sqrt[m]{\ln^2(1-x)}=|\ln t|^{2/m}$。于是 $f(x)\sim |\ln t|^{2/m}$。当 $t\to 0^+$ 时，$|\ln t|^{2/m}$ 的增长速度慢于任何 $t^{-\varepsilon}$（$\varepsilon>0$），因此积分在 $x=1$ 附近收敛当且仅当 $\frac{2}{m}$ 为有限值（$m>0$），实际上对于任意 $m>0$，$\int_0^{\delta}|\ln t|^{2/m}dt$ 均收敛（因为 $|\ln t|^{p}$ 在 $t=0$ 附近可积当且仅当 $p$ 为任意实数）。所以 $x=1$ 不是本质瑕点，积分在 $x=1$ 附近总是收敛的。综上，瑕点为 $x=0$ 和 $x=1$，但收敛性主要由 $x=0$ 处的阶数决定。

公式：$$f(x)\sim \begin{cases} x^{2/m-1/n}, & x\to 0^+ \\ |\ln t|^{2/m}, & t=1-x\to 0^+ \end{cases}$$

提示：注意两个瑕点都要分析，但 $x=0$ 是主要矛盾，$x=1$ 处总是收敛。

步骤 2/2

目标：分别写出两个瑕点处收敛的条件，判断与m,n的关系

首先考虑瑕点 $x=0$ 处的收敛性。被积函数在 $x=0$ 附近的行为由 $x^{2/m-1/n}$ 主导，因为 $\ln^2(1-x)$ 在 $x=0$ 处趋于 $0$，其影响可忽略。具体地，当 $x\to 0^+$ 时，$\ln(1-x)\sim -x$，故 $\ln^2(1-x)\sim x^2$，因此被积函数 $\sim x^{2/m-1/n}$。瑕积分 $\int_0^{\delta} x^{p}dx$ 在 $p>-1$ 时收敛，故需 $\frac{2}{m}-\frac{1}{n}>-1$，即 $\frac{2}{m}+1>\frac{1}{n}$。其次考虑瑕点 $x=1$ 处的收敛性。令 $t=1-x$，则 $t\to 0^+$，$x=1-t$，$\ln x=\ln(1-t)\sim -t$，$\ln^2(1-x)=\ln^2 t$，$x^{1/n}\sim 1$。被积函数化为 $\frac{1}{t^{1/m}\ln^2 t}$。比较判别法：对任意 $\varepsilon>0$，$\ln^2 t$ 的增长慢于任何 $t^{-\varepsilon}$，因此积分 $\int_0^{\delta}\frac{dt}{t^{1/m}\ln^2 t}$ 的收敛性由 $t^{-1/m}$ 决定，即需 $1/m<1$，亦即 $m>1$ 时收敛。但 $m$ 为正整数，故 $m=1$ 时 $1/m=1$，积分发散；$m\ge2$ 时 $1/m<1$，积分收敛。综合两个瑕点：$x=0$ 处条件 $\frac{2}{m}+1>\frac{1}{n}$ 对任意正整数 $m,n$ 均成立（因为 $\frac{2}{m}+1\ge1$，而 $\frac{1}{n}\le1$，等号仅当 $m=2,n=1$ 时取到，但此时 $\frac{2}{2}+1=2>1$，仍成立），故 $x=0$ 处总是收敛的。因此整个积分的收敛性仅由 $x=1$ 处决定，即 $m>1$ 时收敛，$m=1$ 时发散。故正确选项为 A。

公式：$$\int_0^{\delta} x^{\frac{2}{m}-\frac{1}{n}}dx \text{ 收敛需 } \frac{2}{m}-\frac{1}{n}>-1; \quad \int_0^{\delta}\frac{dt}{t^{1/m}\ln^2 t} \text{ 收敛需 } \frac{1}{m}<1$$

提示：先分别分析两个瑕点，注意 $\ln^2 t$ 比任何幂函数增长慢，不影响收敛性判断。

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