2010年考研数学一第2题

已知方程 $F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$，其中 $z$ 是 $x, y$ 的函数。对等式两边关于 $x$ 求偏导（将 $y$ 视为常数，$z$ 视为 $x$ 的函数）。令 $u = \frac{y}{x}$，$v = \frac{z}{x}$，则 $F(u, v)=0$。由复合函数求导法则，有： $$\frac{\partial F}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = 0.$$ 计算 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x}$： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right) = -\frac{y}{x^2},$$ $$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{z}{x}\right) = \frac{x \frac{\partial z}{\partial x} - z}{x^2} = \frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{z}{x^2}.$$ 代入上式得： $$F_u \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) + F_v \cdot \left(\frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{z}{x^2}\right) = 0.$$ 整理得到关于 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的方程： $$\frac{F_v}{x} \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{y}{x^2}F_u - \frac{z}{x^2}F_v = 0.$$ 两边乘以 $x^2$ 化简： $$x F_v \frac{\partial z}{\partial x} - y F_u - z F_v = 0.$$ 因此， $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y F_u + z F_v}{x F_v}.$$ 其中 $F_u = \frac{\partial F}{\partial u}$，$F_v = \frac{\partial F}{\partial v}$，且 $F_v \neq 0$。

在第一步中，我们对方程 $F(x+y, y+z) = 0$ 两边关于 $x$ 求偏导，得到了以下关系式： $$F_1' \cdot 1 + F_2' \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0$$ 其中 $F_1'$ 表示 $F$ 对第一个中间变量 $u = x+y$ 的偏导数，$F_2'$ 表示 $F$ 对第二个中间变量 $v = y+z$ 的偏导数。 现在，我们需要从这个方程中解出 $\frac{\partial z}{\partial x}$。将含有 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的项单独放在等式一边，其余项移到另一边： $$F_2' \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = -F_1'$$ 假设 $F_2' \neq 0$（这是隐函数存在定理的条件），两边同时除以 $F_2'$，得到： $$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_1'}{F_2'}$$ 这里 $F_1'$ 和 $F_2'$ 都是关于 $x, y, z$ 的函数，因为中间变量 $u = x+y$，$v = y+z$ 依赖于 $x, y, z$。因此，最终结果用 $F_1'$、$F_2'$、$x$、$y$、$z$ 表示为： $$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_1'(x+y,\, y+z)}{F_2'(x+y,\, y+z)}$$ 通常简写为 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_1'}{F_2'}$。

已知方程 $F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$，其中 $z=z(x,y)$ 是由该方程确定的隐函数。现在对等式两边关于 $y$ 求偏导数，注意 $x$ 视为常数，$z$ 是 $y$ 的函数。 令 $u = \frac{y}{x}$，$v = \frac{z}{x}$，则原方程为 $F(u,v)=0$。 对 $y$ 求偏导时，$u$ 对 $y$ 的偏导数为 $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x}$，$v$ 对 $y$ 的偏导数为 $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}$。 根据链式法则，对 $F(u,v)=0$ 两边关于 $y$ 求偏导： $$ \frac{\partial F}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = 0 $$ 代入偏导数表达式： $$ F_u \cdot \frac{1}{x} + F_v \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0 $$ 两边同时乘以 $x$（假设 $x \neq 0$），得到： $$ F_u + F_v \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0 $$ 由此解出 $\frac{\partial z}{\partial y}$： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_u}{F_v} $$ 其中 $F_u = \frac{\partial F}{\partial u}$，$F_v = \frac{\partial F}{\partial v}$，且 $F_v \neq 0$。 这样我们就得到了 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的表达式，为下一步求解全微分或进一步化简做好准备。

在第三步中，我们得到了关于 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的方程： $$F_1' \cdot \frac{\partial z}{\partial y} + F_2' \cdot \left(1 + \frac{\partial z}{\partial y}\right) = 0$$ 其中 $F_1' = \frac{\partial F}{\partial u}$，$F_2' = \frac{\partial F}{\partial v}$，且 $u = x + y + z$，$v = xyz$。 现在我们需要从该方程中解出 $\frac{\partial z}{\partial y}$。首先将方程展开： $$F_1' \cdot \frac{\partial z}{\partial y} + F_2' + F_2' \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0$$ 将含有 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的项合并： $$(F_1' + F_2') \cdot \frac{\partial z}{\partial y} + F_2' = 0$$ 移项得： $$(F_1' + F_2') \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = -F_2'$$ 假设 $F_1' + F_2' \neq 0$，则两边同时除以 $F_1' + F_2'$，得到： $$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_2'}{F_1' + F_2'}$$ 这就是 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的表达式，用 $F_1'$ 和 $F_2'$ 表示。注意，这里 $F_1'$ 和 $F_2'$ 都是关于 $x, y, z$ 的函数，因此 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 也是 $x, y, z$ 的函数。

将前几步求得的偏导数代入目标表达式 $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}$。已知： $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{F_1'}{F_1'x+F_2'y}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{F_2'}{F_1'x+F_2'y}$$ 代入得： $$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} = x\cdot\frac{F_1'}{F_1'x+F_2'y} + y\cdot\frac{F_2'}{F_1'x+F_2'y}$$ 将分子合并： $$= \frac{xF_1' + yF_2'}{F_1'x+F_2'y}$$ 注意到分子与分母完全相同，均为 $xF_1'+yF_2'$，因此分式化简为 $1$。但题目要求的结果是 $z$，这里需要回顾原题条件：由 $F(xz, yz)=0$ 及隐函数存在定理，实际上 $z$ 是 $x,y$ 的函数，且 $F$ 为齐次函数或通过其他关系可推出 $xF_1'+yF_2' = z$ 的某种形式？仔细检查：由 $F(xz, yz)=0$ 对 $x$ 求偏导时，我们得到 $F_1'\cdot(z + x\frac{\partial z}{\partial x}) + F_2'\cdot(y\frac{\partial z}{\partial x})=0$，整理后得到 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{zF_1'}{xF_1'+yF_2'}$。类似地，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{zF_2'}{xF_1'+yF_2'}$。注意前面步骤中遗漏了负号和因子 $z$，修正后代入： $$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} = x\cdot\left(-\frac{zF_1'}{xF_1'+yF_2'}\right) + y\cdot\left(-\frac{zF_2'}{xF_1'+yF_2'}\right)$$ $$= -\frac{z(xF_1'+yF_2')}{xF_1'+yF_2'} = -z$$ 因此 $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} = -z$，即目标表达式等于 $-z$。但题目要求的结果是 $z$？注意原题可能要求证明 $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} = -z$，或者根据选项判断。最终化简结果为 $-z$，验证了隐函数关系。