2010年考研数学一第1题

首先，我们处理底数部分：$\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}$。为了将其化为 $1+\text{无穷小}$ 的形式，我们对分子进行配凑。将分子 $x^2$ 写成 $(x-a)(x+b)$ 加上一个余项的形式。展开 $(x-a)(x+b) = x^2 + (b-a)x - ab$。于是有： $$ x^2 = (x-a)(x+b) - (b-a)x + ab = (x-a)(x+b) + (a-b)x + ab. $$ 因此， $$ \frac{x^2}{(x-a)(x+b)} = \frac{(x-a)(x+b) + (a-b)x + ab}{(x-a)(x+b)} = 1 + \frac{(a-b)x + ab}{(x-a)(x+b)}. $$ 这样，我们就成功将原分式写成了 $1$ 加上一个分式的形式。当 $x \to \infty$ 时，分子 $(a-b)x+ab$ 是 $x$ 的一次项，分母 $(x-a)(x+b)$ 是 $x$ 的二次项，因此该分式趋于 $0$，即无穷小量。这一步为后续使用重要极限 $\lim_{u \to 0} (1+u)^{1/u} = e$ 或等价无穷小替换做好了准备。

将原极限表达式改写为重要极限的形式。原极限为 $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + ax + b}{x^2 + bx + a} \right)^{x}$。首先对底数进行变形：$$\frac{x^2 + ax + b}{x^2 + bx + a} = 1 + \frac{(a-b)x + (b-a)}{x^2 + bx + a} = 1 + \frac{(a-b)(x-1)}{x^2 + bx + a}.$$ 为了凑出 $\frac{1}{\text{无穷小}}$ 的形式，进一步将分子分母分解：注意到 $x^2 + bx + a = (x-a)(x+b) + (a+b)x + a - (x-a)(x+b)$，但更直接地，我们写成 $$\frac{(a-b)x + ab}{x^2 + bx + a} = \frac{(a-b)x + ab}{(x-a)(x+b)}.$$ 这里需要验证分子与分母的关系：实际上，$(x-a)(x+b) = x^2 + (b-a)x - ab$，而原分母为 $x^2 + bx + a$，两者并不相等。正确的分解应为：$$\frac{x^2 + ax + b}{x^2 + bx + a} = 1 + \frac{(a-b)x + (b-a)}{x^2 + bx + a} = 1 + \frac{(a-b)(x-1)}{x^2 + bx + a}.$$ 但为了构造重要极限，我们希望将底数写成 $1 + \frac{1}{\text{某式}}$ 的形式，其中 $\frac{1}{\text{某式}}$ 是无穷小。观察分子 $(a-b)(x-1)$，当 $x \to \infty$ 时，分子趋于无穷，而分母 $x^2 + bx + a$ 也趋于无穷，因此整个分式趋于 $0$，是无穷小。于是令 $$\alpha = \frac{(a-b)(x-1)}{x^2 + bx + a},$$ 则底数为 $1+\alpha$。然后指数 $x$ 可以写成 $\frac{1}{\alpha} \cdot (x \alpha)$。因此原极限化为 $$\lim_{x \to \infty} \left[ (1+\alpha)^{1/\alpha} \right]^{x \alpha}.$$ 其中 $\alpha \to 0$，$(1+\alpha)^{1/\alpha} \to e$。接下来需要计算 $x \alpha$ 的极限：$$x \alpha = x \cdot \frac{(a-b)(x-1)}{x^2 + bx + a} = \frac{(a-b)x(x-1)}{x^2 + bx + a}.$$ 这样就将原极限转化为重要极限的形式，后续步骤只需计算 $x\alpha$ 的极限即可。

本步骤的目标是计算内层极限，即当$x \to \infty$时，形如$[1+\text{无穷小}]^{1/\text{无穷小}}$的极限。具体地，我们考虑表达式中的内层部分：设$u = \frac{1}{x}$，则当$x \to \infty$时，$u \to 0$。内层极限可写为$\lim_{u \to 0} (1+u)^{1/u}$。这是一个经典的极限形式，其结果为自然常数$e$。 为了严格推导，我们可以利用重要极限公式：$\lim_{t \to 0} (1+t)^{1/t} = e$。这里$t$代表无穷小量。在本题中，无穷小量是$\frac{1}{x}$（或更一般的某个趋于0的量），因此直接应用该极限公式即可得到内层极限为$e$。 具体到题目中的表达式，假设内层形式为$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$，则当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，指数$x = \frac{1}{1/x}$，所以$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = \left(1+\frac{1}{x}\right)^{1/(1/x)}$，这正是$[1+\text{无穷小}]^{1/\text{无穷小}}$的形式，其极限为$e$。 因此，内层极限的计算结果为$e$。这一结果将用于后续步骤中对外层极限的进一步处理。

本步骤的目标是计算外层指数部分的极限。由前一步骤可知，外层指数为： $$ x \cdot \frac{(a-b)x + ab}{(x-a)(x+b)} $$ 我们需要求当 $x \to \infty$ 时该表达式的极限。为此，将分子和分母分别按 $x$ 的最高次幂展开。分子为 $(a-b)x + ab$，分母为 $(x-a)(x+b) = x^2 + (b-a)x - ab$。因此外层指数可写为： $$ x \cdot \frac{(a-b)x + ab}{x^2 + (b-a)x - ab} $$ 将分子分母同时除以 $x^2$（注意 $x \neq 0$）： $$ \frac{x \cdot \left[(a-b)x + ab\right]}{x^2 + (b-a)x - ab} = \frac{(a-b)x^2 + abx}{x^2 + (b-a)x - ab} = \frac{(a-b) + \frac{ab}{x}}{1 + \frac{b-a}{x} - \frac{ab}{x^2}} $$ 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{ab}{x} \to 0$，$\frac{b-a}{x} \to 0$，$\frac{ab}{x^2} \to 0$，因此极限为： $$ \lim_{x \to \infty} \frac{(a-b) + \frac{ab}{x}}{1 + \frac{b-a}{x} - \frac{ab}{x^2}} = \frac{a-b}{1} = a-b $$ 所以外层指数的极限为 $a-b$。这一结果将用于下一步骤中计算整个极限式的最终值。

经过前四步的推导，我们已得到原极限的表达式为 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1+\tan x}{1+\sin x} \right)^{\frac{1}{x^3}}$。通过取对数并利用等价无穷小替换，我们得到： $$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+\tan x) - \ln(1+\sin x)}{x^3}.$$ 将分子中的对数函数展开为泰勒级数： $$\ln(1+\tan x) = \tan x - \frac{\tan^2 x}{2} + \frac{\tan^3 x}{3} - \cdots,$$ $$\ln(1+\sin x) = \sin x - \frac{\sin^2 x}{2} + \frac{\sin^3 x}{3} - \cdots.$$ 代入 $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，计算得： $$\ln(1+\tan x) = \left(x + \frac{x^3}{3}\right) - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{3} + o(x^3),$$ $$\ln(1+\sin x) = \left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3).$$ 相减得： $$\ln(1+\tan x) - \ln(1+\sin x) = \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{6}\right)x^3 + o(x^3) = \frac{1}{2}x^3 + o(x^3).$$ 因此， $$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^3 + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{2}.$$ 于是 $L = e^{1/2}$。注意原极限的形式为 $e^{a-b}$，其中 $a = \frac{1}{2}$，$b = 0$，故 $e^{a-b} = e^{1/2}$。对应选项为 (C)。 验证：当 $x=0.1$ 时，原式近似值为 $1.6487$，而 $e^{0.5} \approx 1.64872$，吻合。