2019年考研数学三第10题

首先，已知函数为 $y = x \sin x + 2 \cos x$。我们需要对 $y$ 关于 $x$ 求导。该函数由两项相加组成：第一项 $x \sin x$ 是两个函数 $x$ 和 $\sin x$ 的乘积，第二项 $2 \cos x$ 是常数 $2$ 与 $\cos x$ 的乘积。 对于第一项 $x \sin x$，应用乘积法则：若 $u = x$，$v = \sin x$，则 $(uv)' = u'v + uv'$。已知 $u' = 1$，$v' = \cos x$，所以 $(x \sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$。 对于第二项 $2 \cos x$，常数因子 $2$ 可以提到导数外面，即 $(2 \cos x)' = 2 \cdot (\cos x)'$。而 $\cos x$ 的导数为 $-\sin x$，因此 $(2 \cos x)' = 2 \cdot (-\sin x) = -2 \sin x$。 将两项的导数相加，得到： $$y' = (\sin x + x \cos x) + (-2 \sin x) = \sin x + x \cos x - 2 \sin x = x \cos x - \sin x.$$ 因此，一阶导数为 $y' = x \cos x - \sin x$。

已知一阶导数为 $y' = x \cos x - \sin x$。要求二阶导数 $y''$，即对 $y'$ 再次求导。 将 $y'$ 视为两个函数之差：$y' = u(x) - v(x)$，其中 $u(x) = x \cos x$，$v(x) = \sin x$。根据导数的减法法则，$y'' = u'(x) - v'(x)$。 先求 $u'(x)$。$u(x) = x \cos x$ 是乘积形式，应用乘积法则：$(x \cos x)' = x' \cdot \cos x + x \cdot (\cos x)'$。已知 $x' = 1$，$(\cos x)' = -\sin x$，所以 $$u'(x) = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x.$$ 再求 $v'(x)$。$v(x) = \sin x$，其导数为 $v'(x) = \cos x$。 因此， $$y'' = u'(x) - v'(x) = (\cos x - x \sin x) - \cos x = -x \sin x.$$ 故二阶导数为 $y'' = -x \sin x$。

我们需要求解方程 $f''(x)=0$，即 $-x\sin x = 0$。该方程等价于 $x\sin x = 0$。在区间 $(-\pi/2, 3\pi/2)$ 内，乘积为零意味着至少有一个因子为零。 首先，令 $x=0$，显然 $0$ 在区间内，因此 $x=0$ 是一个解。 其次，令 $\sin x = 0$，在区间 $(-\pi/2, 3\pi/2)$ 内，$\sin x = 0$ 的解为 $x = 0$（已包含）、$x = \pi$ 以及 $x = -\pi$（但 $-\pi$ 不在区间内，因为区间左端点为 $-\pi/2$，$-\pi < -\pi/2$，故舍去）。另外，$x = 2\pi$ 也不在区间内（$2\pi > 3\pi/2$）。因此，仅得到 $x = \pi$ 是新的解。 综上，方程 $-x\sin x = 0$ 在区间 $(-\pi/2, 3\pi/2)$ 内的解为 $x=0$ 和 $x=\pi$。这两个点即为二阶导数为零的候选点，用于后续判断拐点。

首先，我们已求得函数 $y = \sin x + \cos x$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的二阶导数为 $y'' = -\sin x - \cos x$，并得到候选点 $x=0$ 和 $x=\pi$。现在分别检查这两个点左右两侧二阶导数的符号，以判断它们是否为拐点。 **检查 $x=0$：** - 在 $x=0$ 左侧，取 $x = -\frac{\pi}{4}$（注意：虽然定义域为 $[0,2\pi]$，但拐点判断需考虑邻域内的符号，此处左侧邻域取 $(-\delta,0)$ 内的点，例如 $x=-\frac{\pi}{4}$ 在 $(-\pi,0)$ 区间内，该区间属于函数定义域的延拓，不影响符号判断）。计算 $y''(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(-\frac{\pi}{4}) - \cos(-\frac{\pi}{4}) = -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$。此点恰好为零，需另取一点。取 $x = -\frac{\pi}{6}$，则 $y''(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(-\frac{\pi}{6}) - \cos(-\frac{\pi}{6}) = -(-\frac{1}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$。故 $x=0$ 左侧 $y''<0$。 - 在 $x=0$ 右侧，取 $x = \frac{\pi}{6}$，则 $y''(\frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$。因此 $x=0$ 右侧 $y''<0$。 由于 $x=0$ 左右两侧 $y''$ 均小于0，符号未改变，故 $x=0$ 不是拐点。 **检查 $x=\pi$：** - 在 $x=\pi$ 左侧，取 $x = \frac{3\pi}{4}$，则 $y''(\frac{3\pi}{4}) = -\sin\frac{3\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$。另取 $x = \frac{2\pi}{3}$，则 $y''(\frac{2\pi}{3}) = -\sin\frac{2\pi}{3} - \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} < 0$。故 $x=\pi$ 左侧 $y''<0$。 - 在 $x=\pi$ 右侧，取 $x = \frac{5\pi}{4}$，则 $y''(\frac{5\pi}{4}) = -\sin\frac{5\pi}{4} - \cos\frac{5\pi}{4} = -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} > 0$。故 $x=\pi$ 右侧 $y''>0$。 由于 $x=\pi$ 左侧 $y''<0$，右侧 $y''>0$，符号发生改变，因此 $x=\pi$ 是拐点。 综上所述，候选点中只有 $x=\pi$ 是拐点。

本步骤的目标是计算拐点的纵坐标。已知拐点的横坐标为 $x = \pi$，需要将其代入原函数 $y = x \sin x + 2 \cos x$ 中求出对应的 $y$ 值。 首先，计算 $\sin \pi$ 和 $\cos \pi$ 的值： $$\sin \pi = 0, \quad \cos \pi = -1.$$ 然后代入原函数： $$y(\pi) = \pi \cdot \sin \pi + 2 \cos \pi = \pi \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = 0 - 2 = -2.$$ 因此，拐点的纵坐标为 $-2$，拐点坐标为 $(\pi, -2)$。 **验证**：为了确认该点确实是拐点，可以检查二阶导数在该点左右两侧的符号变化。由之前步骤可知，二阶导数为 $y'' = 2\cos x - x\sin x$。计算 $x = \pi$ 处的二阶导数： $$y''(\pi) = 2\cos \pi - \pi \sin \pi = 2 \cdot (-1) - \pi \cdot 0 = -2 \neq 0,$$ 且 $y''$ 在 $x = \pi$ 附近变号（例如，取 $x = \pi - 0.1$ 和 $x = \pi + 0.1$ 可验证），故 $(\pi, -2)$ 确为拐点。 最终答案：拐点坐标为 $(\pi, -2)$。