2019年考研数学三第9题

首先，我们观察括号内的每一项：$\frac{1}{k(k+1)}$。这是一个典型的可裂项的分式，因为分母是两个连续整数的乘积。根据裂项公式，有： $$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}. $$ 这个等式可以通过通分右边来验证：$\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{k+1 - k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}$。 现在，我们对 $k$ 从 $1$ 到 $n$ 求和： $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right). $$ 将求和展开，得到： $$ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right). $$ 观察发现，除了第一项的 $\frac{1}{1}$ 和最后一项的 $-\frac{1}{n+1}$，中间的所有项都正负相消。例如，$-\frac{1}{2}$ 与 $+\frac{1}{2}$ 抵消，$-\frac{1}{3}$ 与 $+\frac{1}{3}$ 抵消，依此类推。因此，最终只剩下： $$ 1 - \frac{1}{n+1}. $$ 所以，裂项化简求和的结果为： $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}. $$ 这个结果在后续步骤中会用到，例如求极限或进一步化简原表达式。

根据第一步中求出的求和结果，即 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}$，将其代入原极限表达式 $\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \right)^n$ 中，得到： $$ \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^n. $$ 此时，我们得到了一个形如 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n$ 的极限形式，但注意这里分母是 $n+1$ 而不是 $n$。为了后续处理方便，我们可以将表达式稍作变形：令 $m = n+1$，则当 $n \to \infty$ 时，$m \to \infty$，且 $n = m-1$，于是极限变为： $$ \lim_{m \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{m} \right)^{m-1}. $$ 这个形式更接近标准极限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ 的变体。注意这里底数是 $1 - \frac{1}{m}$，指数是 $m-1$。后续步骤将利用重要极限或取对数的方法来求解这个极限。 因此，本步骤的关键是正确地将求和结果代入原极限，并得到清晰的极限表达式 $\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^n$，为下一步的计算做好准备。

本步骤的目标是将表达式变形为重要极限 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ 的形式。当前表达式为 $\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n$。首先，注意到 $1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$，但为了凑出重要极限，我们将其改写为 $1 + \left(-\frac{1}{n+1}\right)$。重要极限的标准形式是 $(1 + \frac{1}{x})^x \to e$，而这里底数是 $1 - \frac{1}{n+1}$，指数是 $n$。为了利用该极限，我们需要让底数的形式为 $1 + \frac{1}{某变量}$，且指数与该变量相同。因此，令 $t = -(n+1)$，则 $1 - \frac{1}{n+1} = 1 + \frac{1}{t}$，但此时 $t$ 为负数，而重要极限对 $t \to -\infty$ 也成立（因为 $\lim_{x \to -\infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$）。更常用的变形方法是：将原式写成 $\left[\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)}\right]^{-\frac{n}{n+1}}$。验证：$\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)}$ 的指数是 $-(n+1)$，恰好与底数中的分母 $n+1$ 互为相反数，这正是重要极限的形式，其中 $x = -(n+1)$，当 $n \to \infty$ 时 $x \to -\infty$，极限值为 $e$。因此，原式 $= \left[\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)}\right]^{-\frac{n}{n+1}}$。当 $n \to \infty$ 时，中括号内的部分趋于 $e$，而指数 $-\frac{n}{n+1} \to -1$，所以原极限 $= e^{-1}$。另一种直接利用推广的方法：$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left[\left(1 + \frac{-1}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{-1}}\right]^{\frac{-n}{n+1}} = e^{-1}$。至此，我们已经成功将原式变形为重要极限的幂次形式，为下一步求极限做好了准备。

在第三步中，我们已将原极限转化为 $\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n$。为了利用重要极限 $\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m = e$，我们需要将底数中的 $1 - \frac{1}{n+1}$ 改写为 $1 + \frac{1}{m}$ 的形式。令 $m = -(n+1)$，则 $n+1 = -m$，且 $n = -m - 1$。当 $n \to \infty$ 时，$m \to -\infty$，但重要极限中的 $m$ 趋向于无穷大（正无穷或负无穷均可，因为 $\lim_{m \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m = e$ 也成立）。于是： $$ 1 - \frac{1}{n+1} = 1 + \frac{1}{-(n+1)} = 1 + \frac{1}{m}. $$ 原极限变为： $$ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n = \lim_{m \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{-m-1}. $$ 将指数拆开： $$ \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{-m-1} = \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{-m} \cdot \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{-1}. $$ 利用重要极限 $\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^m = e$，且该极限对 $m \to -\infty$ 同样成立，因此 $\lim_{m \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{-m} = e^{-1}$。同时，$\lim_{m \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{-1} = 1$。于是极限值为 $e^{-1} \times 1 = e^{-1}$。 因此，原极限 $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = e^{-1}$。 **最终答案验证**：当 $n$ 很大时，$\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n \approx e^{-1}$，数值验证例如 $n=100$ 时，$\left(\frac{100}{101}\right)^{100} \approx 0.3660$，而 $e^{-1} \approx 0.3679$，两者接近，结果正确。