2019年考研数学三第8题

已知随机变量$X$与$Y$相互独立，且均服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$。根据正态分布的线性性质，两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。设$Z = X - Y$，则$Z$也服从正态分布。下面计算$Z$的期望和方差。 首先计算期望： $$E(Z) = E(X - Y) = E(X) - E(Y) = \mu - \mu = 0.$$ 由于$X$与$Y$独立，方差具有可加性： $$D(Z) = D(X - Y) = D(X) + D(Y) = \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2.$$ 因此，$Z = X - Y$服从正态分布$N(0, 2\sigma^2)$。这一结论是后续步骤的基础，用于计算概率$P\{X - Y > 0\}$或$P\{X > Y\}$等。注意，由于期望为0，分布关于原点对称，故$P\{X - Y > 0\} = \frac{1}{2}$，但此结论需在标准化后进一步确认。

已知随机变量$X$与$Y$相互独立，且均服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$。我们需要构造一个标准正态随机变量$Z$，以便后续进行概率计算。 首先考虑$X-Y$的分布。由于$X$和$Y$独立，且$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$Y\sim N(\mu,\sigma^2)$，根据正态分布的可加性，$X-Y$也服从正态分布。其期望为： $$E(X-Y)=E(X)-E(Y)=\mu-\mu=0$$ 方差为： $$D(X-Y)=D(X)+D(Y)=\sigma^2+\sigma^2=2\sigma^2$$ 因此$X-Y\sim N(0, 2\sigma^2)$。 为了将其转化为标准正态分布$N(0,1)$，我们需要对$X-Y$进行标准化处理。标准化的方法是减去均值后除以标准差。这里均值为0，标准差为$\sqrt{2\sigma^2}=\sqrt{2}\sigma$。于是令： $$Z=\frac{X-Y-0}{\sqrt{2}\sigma}=\frac{X-Y}{\sqrt{2}\sigma}$$ 则$Z$服从标准正态分布，即$Z\sim N(0,1)$。 这一步骤为后续计算概率$P\{|X-Y|<\sigma\}$提供了基础。因为$|X-Y|<\sigma$等价于$|Z|<\frac{\sigma}{\sqrt{2}\sigma}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，从而将原问题转化为标准正态分布的概率计算。

已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且均服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$。设 $Z = X - Y$，则 $Z$ 也服从正态分布，其期望为 $E(Z) = E(X) - E(Y) = \mu - \mu = 0$，方差为 $D(Z) = D(X) + D(Y) = \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2$，因此 $Z \sim N(0, 2\sigma^2)$。 我们需要计算概率 $P\{|X-Y| < 1\} = P\{|Z| < 1\}$。对 $Z$ 进行标准化处理，令 $W = \frac{Z}{\sqrt{2\sigma^2}} = \frac{Z}{\sqrt{2}\sigma}$，则 $W \sim N(0,1)$。于是： $$P\{|Z| < 1\} = P\left\{ \left| \frac{Z}{\sqrt{2}\sigma} \right| < \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \right\} = P\left\{ |W| < \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \right\}.$$ 将绝对值不等式转化为区间形式： $$P\left\{ -\frac{1}{\sqrt{2}\sigma} < W < \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \right\}.$$ 因此，原概率表达式转化为标准正态分布随机变量 $W$ 落在对称区间 $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}, \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \right)$ 内的概率。

本步骤的目标是将上一步得到的概率表达式转化为标准正态分布函数的形式。上一步我们得到： $$P = P\left( -\frac{1}{\sqrt{2}\sigma} < \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \right)$$ 其中 $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$，即服从标准正态分布。设 $Z \sim N(0,1)$，则概率可写为： $$P = P\left( -a < Z < a \right), \quad a = \frac{1}{\sqrt{2}\sigma}$$ 利用标准正态分布函数的对称性，有： $$P(-a < Z < a) = \Phi(a) - \Phi(-a) = \Phi(a) - [1 - \Phi(a)] = 2\Phi(a) - 1$$ 其中 $\Phi(\cdot)$ 是标准正态分布的累积分布函数。将 $a = \frac{1}{\sqrt{2}\sigma}$ 代入，即得： $$P = 2\Phi\left( \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \right) - 1$$ 这样，我们就用标准正态分布函数简洁地表示了所求概率。

在前面的步骤中，我们已经推导出概率表达式为 $P\left\{ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \leq \frac{(n-1)s_0^2}{\sigma^2} \right\}$，其中 $S^2$ 是样本方差，$\sigma^2$ 是总体方差，$s_0^2$ 是已知常数。由于 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，该统计量的分布只依赖于自由度 $n-1$，而不依赖于总体均值 $\mu$。因此，概率 $P\left\{ S^2 \leq s_0^2 \right\} = P\left\{ \chi^2(n-1) \leq \frac{(n-1)s_0^2}{\sigma^2} \right\}$ 的表达式中不包含 $\mu$，只包含 $\sigma^2$（通过 $\frac{(n-1)s_0^2}{\sigma^2}$ 体现）。所以，该概率与 $\mu$ 无关，而与 $\sigma^2$ 有关。对照选项：A. 与 $\mu$ 无关，与 $\sigma^2$ 有关；B. 与 $\mu$ 有关，与 $\sigma^2$ 无关；C. 与 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 都有关；D. 与 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 都无关。显然，正确选项为 A。最终答案验证：当 $\mu$ 变化时，样本方差 $S^2$ 的分布不变（因为 $S^2$ 是中心化样本方差，与均值无关），故概率不变；当 $\sigma^2$ 变化时，$\frac{(n-1)s_0^2}{\sigma^2}$ 变化，从而概率改变，因此结论正确。