2019年考研数学三第7题

本题为2019年数学三第7题，考查概率论中事件概率相等条件的判断。题目给出两个事件$A$和$B$，要求找出$P(A)=P(B)$的充分必要条件。四个选项分别给出了不同的条件表达式，我们需要逐一分析每个选项所表达的概率关系，并判断其是否等价于$P(A)=P(B)$。 首先明确基本概率公式：对于任意事件$A$和$B$，有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，以及$P(A-B)=P(A)-P(AB)$，$P(B-A)=P(B)-P(AB)$。另外，条件概率$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$（当$P(B)>0$时）。 四个选项如下： (A) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (B) $P(A\cup B)=P(A)P(B)$ (C) $P(A|B)=P(B|A)$ (D) $P(A-B)=P(B-A)$ 我们需要理解每个选项的数学含义，并思考它们与$P(A)=P(B)$的关系。例如，选项(A)等价于$P(AB)=0$，即$A$与$B$互斥，但这并不保证$P(A)=P(B)$。选项(B)是$P(A\cup B)=P(A)P(B)$，这个条件较为特殊，通常与独立性有关，但也不直接等价于概率相等。选项(C)是条件概率相等，即$\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(AB)}{P(A)}$，这需要$P(A)=P(B)$或$P(AB)=0$。选项(D)是$P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB)$，化简即$P(A)=P(B)$。因此，选项(D)直接等价于$P(A)=P(B)$。 在后续步骤中，我们将对每个选项进行严格推导和验证。

本步骤分析选项(C) $P(A\bar{B}) = P(B\bar{A})$ 与条件 $P(A)=P(B)$ 之间的逻辑关系。首先，利用概率的减法公式：对于任意事件 $A$ 和 $B$，有 $P(A\bar{B}) = P(A) - P(AB)$，$P(B\bar{A}) = P(B) - P(AB)$。 **充分性**：假设 $P(A)=P(B)$ 成立。将 $P(A)=P(B)$ 代入减法公式，得 $P(A\bar{B}) = P(A) - P(AB)$，$P(B\bar{A}) = P(A) - P(AB)$，因此 $P(A\bar{B}) = P(B\bar{A})$。这说明 $P(A)=P(B)$ 可以推出选项(C)成立。 **必要性**：假设选项(C) $P(A\bar{B}) = P(B\bar{A})$ 成立。由减法公式，$P(A\bar{B}) = P(A) - P(AB)$，$P(B\bar{A}) = P(B) - P(AB)$。两式相等，即 $P(A) - P(AB) = P(B) - P(AB)$，两边同时加上 $P(AB)$，得到 $P(A) = P(B)$。这说明选项(C)成立也可以推出 $P(A)=P(B)$。 综上，选项(C) $P(A\bar{B}) = P(B\bar{A})$ 是 $P(A)=P(B)$ 的充分必要条件。因此，在本题中，若题目要求判断 $P(A)=P(B)$ 的充要条件，则选项(C)正确。

首先分析选项(A)：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$。根据概率的加法公式，对于任意事件$A$和$B$，有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$。因此，$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$等价于$P(AB)=0$，即事件$A$与$B$互斥（不相容）。 现在判断该条件是否为$P(A)=P(B)$的充分必要条件。 **充分性**：若$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$成立，即$P(AB)=0$，能否推出$P(A)=P(B)$？显然不能。例如，取样本空间$\Omega=\{1,2,3\}$，令$A=\{1\}$，$B=\{2\}$，则$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(B)=\frac{1}{3}$，此时$P(AB)=0$且$P(A)=P(B)$，但若取$A=\{1\}$，$B=\{2,3\}$，则$P(A)=\frac{1}{3}$，$P(B)=\frac{2}{3}$，$P(AB)=0$，但$P(A)\neq P(B)$。因此，互斥不能推出概率相等，充分性不成立。 **必要性**：若$P(A)=P(B)$成立，能否推出$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$？同样不能。例如，取$A=\{1\}$，$B=\{1,2\}$，且$P(\{1\})=\frac{1}{2}$，$P(\{2\})=\frac{1}{2}$，则$P(A)=\frac{1}{2}$，$P(B)=1$，不满足$P(A)=P(B)$。需要构造$P(A)=P(B)$但$P(AB)\neq 0$的例子：取$\Omega=\{1,2\}$，$P(\{1\})=P(\{2\})=\frac{1}{2}$，令$A=\{1\}$，$B=\{1\}$，则$P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$，但$P(AB)=P(\{1\})=\frac{1}{2}\neq 0$，因此$P(A\cup B)=\frac{1}{2}\neq P(A)+P(B)=1$。所以必要性也不成立。 综上，选项(A)既不是$P(A)=P(B)$的充分条件，也不是必要条件，故(A)不是充分必要条件。

选项(B)为：$P(AB)=P(A)P(B)$。该等式是事件$A$与$B$相互独立的定义式。 首先，判断充分性：若$P(AB)=P(A)P(B)$成立，能否推出$P(A)=P(B)$？显然不能。例如，取$P(A)=0.3$，$P(B)=0.5$，且$A$与$B$独立，则$P(AB)=0.15$，满足$P(AB)=P(A)P(B)$，但$P(A)\neq P(B)$。因此，由$P(AB)=P(A)P(B)$不能推出$P(A)=P(B)$，即(B)不是$P(A)=P(B)$的充分条件。 其次，判断必要性：若$P(A)=P(B)$成立，能否推出$P(AB)=P(A)P(B)$？同样不能。例如，设$P(A)=P(B)=0.5$，但$A$与$B$不独立，比如$P(AB)=0.4$，则$P(AB)\neq P(A)P(B)=0.25$。因此，由$P(A)=P(B)$不能推出$P(AB)=P(A)P(B)$，即(B)不是$P(A)=P(B)$的必要条件。 综上，选项(B)既不是充分条件也不是必要条件，故(B)不是充分必要条件。

检验选项(D)：$P(AB) = P(A)P(B)$。该等式是事件$A$与$B$相互独立的定义式，它本身并不蕴含$P(A)=P(B)$，也不依赖于$P(A)=P(B)$是否成立。例如，取$P(A)=0.3$，$P(B)=0.4$，若$A$与$B$独立，则$P(AB)=0.12$，此时$P(A) \neq P(B)$，但等式依然成立。反之，若$P(A)=P(B)$，但$A$与$B$不独立，则$P(AB) \neq P(A)P(B)$。因此，选项(D)中$P(AB)=P(A)P(B)$与$P(A)=P(B)$之间没有必然的充要关系，该选项错误。 综合以上分析： - 选项(A)错误，因为$P(A|B)=P(A|\bar{B})$等价于$P(A)=P(A|B)$，即$A$与$B$独立，但无法推出$P(A)=P(B)$。 - 选项(B)错误，因为$P(A|B)=P(\bar{A}|\bar{B})$等价于$P(A)=P(B)$，但无法推出$A$与$B$独立。 - 选项(C)正确，因为$P(A|B)=P(\bar{A}|B)$可推出$P(A)=P(\bar{A})=\frac{1}{2}$，同时$P(A|B)=P(\bar{A}|B)$也蕴含$P(A|B)=\frac{1}{2}$，从而$P(AB)=P(A|B)P(B)=\frac{1}{2}P(B)$，结合$P(A)=\frac{1}{2}$，可得$P(AB)=P(A)P(B)$，即$A$与$B$独立。 - 选项(D)错误，理由如上。 因此，正确选项为(C)。