2019年考研数学三第6题

设矩阵$A$的特征值为$\lambda$，对应的特征向量为$\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$），则有$A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$。 已知条件为$A^2 + A = 2E$，即$A^2 + A - 2E = O$。将特征向量$\boldsymbol{x}$左乘该矩阵方程，得： $$(A^2 + A - 2E)\boldsymbol{x} = \mathbf{0}.$$ 由于$A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$，则$A^2\boldsymbol{x} = A(A\boldsymbol{x}) = A(\lambda \boldsymbol{x}) = \lambda A\boldsymbol{x} = \lambda^2 \boldsymbol{x}$。代入上式： $$\lambda^2 \boldsymbol{x} + \lambda \boldsymbol{x} - 2\boldsymbol{x} = \mathbf{0},$$ 即 $$(\lambda^2 + \lambda - 2)\boldsymbol{x} = \mathbf{0}.$$ 因为特征向量$\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$，所以系数必须为零： $$\lambda^2 + \lambda - 2 = 0.$$ 解此一元二次方程： $$\lambda^2 + \lambda - 2 = (\lambda - 1)(\lambda + 2) = 0,$$ 得到特征值$\lambda = 1$或$\lambda = -2$。 因此，矩阵$A$的特征值只可能为$1$或$-2$。

已知矩阵 $A$ 为 3 阶矩阵，且 $|A| = 4$。根据行列式与特征值的关系，矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，即 $\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = |A| = 4$。 由第一步已知，矩阵 $A$ 的特征值可能取值为 $1$ 和 $-2$（因为题目条件或矩阵结构暗示特征值只有这两个可能值，且 $A$ 可对角化或具有某种特殊形式）。设三个特征值分别为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，每个只能取 $1$ 或 $-2$。 我们需要找到一组满足乘积为 $4$ 的取值组合。设 $x$ 为特征值中 $1$ 的个数，$y$ 为 $-2$ 的个数，则 $x + y = 3$，且乘积为 $1^x \cdot (-2)^y = (-2)^y = 4$。 解方程 $(-2)^y = 4$： - 若 $y = 1$，则 $(-2)^1 = -2 \neq 4$； - 若 $y = 2$，则 $(-2)^2 = 4$，成立； - 若 $y = 3$，则 $(-2)^3 = -8 \neq 4$。 因此 $y = 2$，$x = 1$，即三个特征值中有 $1$ 个 $1$ 和 $2$ 个 $-2$。所以特征值为 $\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = -2$，$\lambda_3 = -2$（顺序可调）。 验证乘积：$1 \times (-2) \times (-2) = 4$，与 $|A| = 4$ 一致。至此，利用行列式确定了矩阵 $A$ 的特征值。

在前两步中，我们已经求出了二次型矩阵的特征值：$\lambda_1 = 1$（单重），$\lambda_2 = \lambda_3 = -2$（二重）。根据实二次型的惯性定理，规范形由特征值的正负号唯一确定。正特征值个数 $p=1$，负特征值个数 $q=2$，故规范形中应包含一个正平方项和两个负平方项。将特征值 $1$ 对应 $y_1^2$，特征值 $-2$ 对应 $-y_2^2$ 和 $-y_3^2$，因此二次型的规范形为： $$ f = y_1^2 - y_2^2 - y_3^2. $$ 注意：规范形中平方项的系数绝对值均为1，符号由特征值的正负决定，与特征值的大小无关。最终结果可通过代入正交变换验证：若存在正交矩阵 $Q$ 使得 $x = Qy$，则原二次型 $f = x^T A x = y^T (Q^T A Q) y = y^T \Lambda y$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(1, -2, -2)$。进一步通过缩放变换（令 $y_1' = y_1$, $y_2' = \sqrt{2}y_2$, $y_3' = \sqrt{2}y_3$）可化为规范形 $y_1'^2 - y_2'^2 - y_3'^2$，但通常我们直接以特征值的符号写出规范形。因此，本题的最终答案为 $f = y_1^2 - y_2^2 - y_3^2$。