2019年考研数学三第5题
📝 题目
设 $\boldsymbol{A}$ 是 4 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^{*}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中只有 2 个向量，则 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=(\quad)$
A
0．
B
1 ．
C
2．
D
3．
💡 答案解析
**答案**: （A）．
---
**解析**:
因为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的基础解系中含 2 个解向量，所以 $r(\boldsymbol{A})=2\lt 4$ ，故 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=0$ ，应选（A）。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定矩阵A的秩
已知 $A$ 是 $4 \times 4$ 矩阵，且齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的基础解系含有 $2$ 个向量。根据线性方程组解的理论，对于 $n$ 元齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，其基础解系所含向量的个数等于 $n - r(A)$，其中 $r(A)$ 是矩阵 $A$ 的秩。
本题中，未知数的个数 $n = 4$（因为 $A$ 是 $4$ 阶方阵），基础解系含 $2$ 个向量，因此有
$$
4 - r(A) = 2.
$$
移项解得
$$
r(A) = 4 - 2 = 2.
$$
所以矩阵 $A$ 的秩为 $2$。这一结论是后续步骤中判断矩阵 $A$ 是否可对角化、求特征值等操作的基础。
公式：$$n - r(A) = \text{基础解系向量个数}$$
提示：牢记公式：基础解系向量个数 = 未知数个数 - 秩。
步骤 2/4
目标：比较r(A)与n-1的大小
已知矩阵$A$是$n$阶方阵，且$n=4$。由题目条件可求得矩阵$A$的秩$r(A)=2$。我们需要比较$r(A)$与$n-1$的大小。计算$n-1=4-1=3$。由于$r(A)=2$，而$3$是$n-1$的值，显然$2<3$，因此$r(A)
公式：$$r(A)=2,\quad n-1=3,\quad r(A)
提示：牢记伴随矩阵秩的定理：r(A)=n时r(A*)=n；r(A)=n-1时r(A*)=1；r(A)
步骤 3/4
目标：应用伴随矩阵秩的定理
已知矩阵 $A$ 的秩 $r(A) < n-1$，根据伴随矩阵秩的定理：
- 若 $r(A) = n$，则 $r(A^*) = n$；
- 若 $r(A) = n-1$，则 $r(A^*) = 1$；
- 若 $r(A) < n-1$，则 $r(A^*) = 0$。
由于题目条件给出 $r(A) < n-1$，因此直接应用该定理可得 $r(A^*) = 0$。这意味着伴随矩阵 $A^*$ 是零矩阵，即 $A^* = O$。
进一步分析：当 $r(A) < n-1$ 时，$A$ 的所有 $(n-1)$ 阶子式均为零，而伴随矩阵 $A^*$ 的元素正是这些 $(n-1)$ 阶子式（带符号），故 $A^*$ 的所有元素均为零，从而 $r(A^*) = 0$。
因此，本步骤的结论是：$r(A^*) = 0$，即伴随矩阵的秩为零。
公式：$$r(A^*) = \begin{cases} n, & r(A) = n \\ 1, & r(A) = n-1 \\ 0, & r(A) < n-1 \end{cases}$$
提示：牢记伴随矩阵秩的三种情况，根据原矩阵的秩直接判断。
步骤 4/4
目标：选择对应选项
由前几步的分析可知，矩阵$A$的秩$r(A)=1$，且$A$为$3\times 3$矩阵。对于$3$阶方阵$A$，其伴随矩阵$A^*$的秩满足以下结论：
- 若$r(A)=3$，则$r(A^*)=3$；
- 若$r(A)=2$，则$r(A^*)=1$；
- 若$r(A)\leqslant 1$，则$r(A^*)=0$。
本题中$r(A)=1$，属于$r(A)\leqslant 1$的情形，因此$r(A^*)=0$。伴随矩阵$A^*$为零矩阵，即$A^*=O$。
现在对照题目给出的四个选项：
(A) $A^*=O$；
(B) $A^*\neq O$；
(C) 若$AB=O$，则$A=O$或$B=O$；
(D) 若$AB=AC$，则$B=C$。
由于$r(A^*)=0$，故$A^*$是零矩阵，选项(A)正确。选项(B)错误。对于选项(C)，反例：取$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，则$AB=O$但$A\neq O$且$B\neq O$，故(C)错误。对于选项(D)，反例：取$A$同上，$B=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，则$AB=AC=O$但$B\neq C$，故(D)错误。
因此，正确选项为(A)。最终答案验证：由$r(A)=1$直接推出$r(A^*)=0$，即$A^*=O$，与选项(A)一致。
公式：r(A^*) = \begin{cases} n, & r(A)=n \\ 1, & r(A)=n-1 \\ 0, & r(A) \leq n-2 \end{cases}
提示：牢记伴随矩阵秩的判定公式：$r(A)=n-1$时$r(A^*)=1$，$r(A)\leq n-2$时$r(A^*)=0$。
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