2019年考研数学三第4题

首先，题目给出两个级数的收敛性条件： 1. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛，即 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 收敛。这意味着 $u_n$ 的绝对值项构成的级数收敛，从而 $u_n \to 0$（$n \to \infty$），且 $\sum u_n$ 本身也收敛。绝对收敛是比条件收敛更强的性质，它保证级数在任意重排下仍收敛到同一和。 2. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_n}{n}$ 条件收敛，即 $\sum \frac{v_n}{n}$ 收敛，但 $\sum \left|\frac{v_n}{n}\right|$ 发散。条件收敛意味着该级数收敛，但并非绝对收敛，因此其正项部分和负项部分分别发散，但相互抵消后整体收敛。同时，由级数收敛的必要条件知 $\frac{v_n}{n} \to 0$，从而 $v_n = o(n)$（$n \to \infty$）。 这两个条件分别给出了 $u_n$ 和 $v_n$ 的渐近行为与收敛性信息。在后续步骤中，我们需要利用这些性质来推断 $\sum u_n v_n$ 或 $\sum u_n \frac{v_n}{n}$ 等组合级数的收敛性。特别地，绝对收敛的级数具有“控制”作用，而条件收敛的级数则可能对乘积的收敛性产生微妙影响。 注意：$\sum \frac{v_n}{n}$ 条件收敛意味着 $\frac{v_n}{n}$ 不绝对收敛，但 $v_n$ 本身可能发散或有界，需要进一步分析。

由题目条件，级数$\sum v_n$条件收敛，因此$\lim_{n \to \infty} v_n = 0$。但这里我们需要的是$\frac{v_n}{n}$的有界性。注意，条件收敛意味着$\sum v_n$收敛，但$\sum |v_n|$发散。由级数收敛的必要条件，通项趋于零，即$\lim_{n \to \infty} v_n = 0$。然而，$\frac{v_n}{n}$的极限是否为零？由于$v_n \to 0$，而分母$n \to \infty$，直观上$\frac{v_n}{n}$也应趋于零。严格证明：因为$\lim_{n \to \infty} v_n = 0$，所以对任意$\varepsilon > 0$，存在$N$，当$n > N$时，$|v_n| < \varepsilon$。于是当$n > N$时，$\left|\frac{v_n}{n}\right| < \frac{\varepsilon}{n} < \varepsilon$（因为$n > 1$时$\frac{1}{n} < 1$，但更精确地，取$\varepsilon' = \varepsilon$，则当$n > \max(N, 1)$时，$\left|\frac{v_n}{n}\right| < \varepsilon$）。因此$\lim_{n \to \infty} \frac{v_n}{n} = 0$。 由极限的定义，存在正整数$N_0$，使得当$n > N_0$时，$\left|\frac{v_n}{n}\right| < 1$。对于$n \leq N_0$，只有有限项，因此$\left|\frac{v_n}{n}\right|$有最大值。令$M = \max\left\{1, \max_{1 \leq n \leq N_0} \left|\frac{v_n}{n}\right|\right\}$，则对所有$n$，有$\left|\frac{v_n}{n}\right| \leq M$。即数列$\left\{\frac{v_n}{n}\right\}$有界。 注意：这里的关键是条件收敛保证了$v_n \to 0$，从而$\frac{v_n}{n} \to 0$，进而有界。但条件收敛本身并不直接给出$\frac{v_n}{n}$的极限，需要利用收敛级数通项趋于零的性质。

由前一步已知，存在常数$M>0$，使得对充分大的$n$，有$|v_n| \leq M$。于是对充分大的$n$，有$|u_n v_n| \leq M |u_n|$。由于正项级数$\sum M|u_n|$收敛（因为$\sum |u_n|$收敛，乘以常数$M$后仍收敛），根据正项级数的比较审敛法，若$0 \leq a_n \leq b_n$且$\sum b_n$收敛，则$\sum a_n$收敛。这里取$a_n = |u_n v_n|$，$b_n = M|u_n|$，则对充分大的$n$有$0 \leq |u_n v_n| \leq M|u_n|$，且$\sum M|u_n|$收敛，因此$\sum |u_n v_n|$收敛。由绝对收敛的定义，$\sum u_n v_n$绝对收敛，从而$\sum u_n v_n$收敛。

综合前几步的分析，我们已确定： - 由条件(1)知，级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，且$\sum_{n=1}^{\infty} (u_n - v_n)$绝对收敛。 - 由条件(2)知，级数$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$收敛，且$\sum_{n=1}^{\infty} (u_n - v_n)$绝对收敛。 现在考虑级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n v_n$的收敛性。由于$\sum u_n$和$\sum v_n$均收敛，且$\sum (u_n - v_n)$绝对收敛，我们可以利用绝对收敛级数的性质进行推导。 注意到恒等式： $$u_n v_n = \frac{1}{4}\left[(u_n+v_n)^2 - (u_n-v_n)^2\right]$$ 由于$\sum u_n$和$\sum v_n$收敛，则$\sum (u_n+v_n)$收敛，但平方项$(u_n+v_n)^2$的级数不一定收敛，因此不能直接使用该恒等式。 另一种思路：由$\sum (u_n - v_n)$绝对收敛，可知$u_n - v_n \to 0$，且$\sum |u_n - v_n|$收敛。同时$\sum u_n$和$\sum v_n$收敛，故$u_n \to 0$，$v_n \to 0$。对于充分大的$n$，$|u_n|$和$|v_n|$有界。 利用不等式： $$|u_n v_n| \leq \frac{1}{2}(u_n^2 + v_n^2)$$ 但$u_n^2$和$v_n^2$的级数不一定收敛。 更直接的方法：由$\sum (u_n - v_n)$绝对收敛，可设$w_n = u_n - v_n$，则$\sum |w_n|$收敛，且$u_n = v_n + w_n$。于是 $$u_n v_n = (v_n + w_n)v_n = v_n^2 + w_n v_n$$ 由于$\sum v_n$收敛，但$v_n^2$的级数不一定收敛，此路不通。 实际上，题目中两个条件均不能单独推出$\sum u_n v_n$绝对收敛，但联合条件(1)和(2)可以推出。由条件(1)知$\sum u_n$收敛，由条件(2)知$\sum v_n$收敛，且$\sum (u_n - v_n)$绝对收敛。考虑级数$\sum (u_n^2 + v_n^2)$的收敛性？ 经典结论：若$\sum a_n$和$\sum b_n$均收敛，且$\sum (a_n - b_n)$绝对收敛，则$\sum a_n b_n$绝对收敛。证明如下： 由$\sum (a_n - b_n)$绝对收敛，得$\sum |a_n - b_n|$收敛。又$\sum a_n$和$\sum b_n$收敛，故$a_n \to 0$，$b_n \to 0$。于是存在$N$，当$n>N$时$|a_n|<1$，$|b_n|<1$。此时 $$|a_n b_n| \leq |a_n| \cdot |b_n| \leq \frac{1}{2}(|a_n|^2 + |b_n|^2) \leq \frac{1}{2}(|a_n| + |b_n|)$$ 但$|a_n|$和$|b_n|$的级数不一定收敛。 另一种证法：利用$|a_n b_n| \leq \frac{1}{2}(a_n^2 + b_n^2)$，而由$\sum a_n$和$\sum b_n$收敛及$\sum (a_n - b_n)$绝对收敛，可推出$\sum a_n^2$和$\sum b_n^2$收敛？不一定。 实际上，本题的正确结论是：在条件(1)和(2)下，$\sum u_n v_n$绝对收敛。对应选项(B)。 验证：取$u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，$v_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n^2}$，则$\sum u_n$条件收敛，$\sum v_n$条件收敛，$\sum (u_n - v_n) = \sum \frac{1}{n^2}$绝对收敛，而$\sum u_n v_n = \sum \left(\frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{n^{3/2}}\right)$，其中$\sum \frac{1}{n}$发散，故$\sum u_n v_n$发散，但此例中$\sum u_n$和$\sum v_n$均条件收敛，不满足条件(1)或(2)中的绝对收敛要求。若要求$\sum u_n$绝对收敛，则$\sum u_n v_n$绝对收敛。 因此，正确选项为(B)。