2019年考研数学三第1题

本题是2019年数学三的第1题，题目给出当$x \to 0$时，$x - \tan x$与$x^k$是同阶无穷小，要求确定常数$k$的值。首先需要明确“同阶无穷小”的定义：设$\alpha(x)$和$\beta(x)$都是在$x \to 0$时的无穷小量（即极限为0），如果存在非零常数$c$，使得$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = c$，则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是同阶无穷小。在本题中，$\alpha(x) = x - \tan x$，$\beta(x) = x^k$。因此，我们需要找出正整数$k$，使得极限$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x^k}$存在且等于一个非零常数。由于$x \to 0$时，$x - \tan x$是无穷小（因为$\tan x \sim x$，但更高阶的差异），而$x^k$也是无穷小，所以这是一个$\frac{0}{0}$型极限。为了确定$k$，我们需要对分子进行展开，通常使用泰勒公式或等价无穷小替换。回忆$\tan x$在$x=0$处的泰勒展开：$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + O(x^7)$。因此，$x - \tan x = x - \left(x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots\right) = -\frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{15}x^5 - \cdots$。可见，当$x \to 0$时，$x - \tan x$的主项是$-\frac{1}{3}x^3$，即它与$x^3$是同阶无穷小。因此，要使$\frac{x - \tan x}{x^k}$的极限为非零常数，必须令$k = 3$，此时极限值为$-\frac{1}{3}$。如果$k < 3$，则极限为0；如果$k > 3$，则极限为无穷大。所以本题的关键是理解同阶无穷小的定义，并利用泰勒展开确定无穷小的阶数。

在求解极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x^k}$ 时，需要根据 $k$ 的取值确定合适的计算方法。这里提供两种常用方法： **方法一：洛必达法则** 洛必达法则适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式。当 $x \to 0$ 时，分子 $x - \tan x \to 0$，分母 $x^k \to 0$，因此满足 $\frac{0}{0}$ 型。我们可以对分子分母反复求导，直到分母的指数 $k$ 使得极限存在且非零。具体地，先求一次导： $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec^2 x}{k x^{k-1}} = \lim_{x \to 0} \frac{-\tan^2 x}{k x^{k-1}}$$ 由于 $\tan x \sim x$，分子等价于 $-x^2$，因此分母的指数应为 $k-1 = 2$ 才能得到非零常数，即 $k=3$。若 $k<3$，极限为 $0$；若 $k>3$，极限为 $\infty$。继续求导可验证 $k=3$ 时极限为 $-\frac{1}{3}$。 **方法二：泰勒展开** 将 $\tan x$ 在 $x=0$ 处展开至 $x^3$ 项： $$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$$ 代入分子得： $$x - \tan x = x - \left(x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)\right) = -\frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$$ 因此，当 $k=3$ 时，极限为 $-\frac{1}{3}$；当 $k<3$ 时，分子是比 $x^k$ 高阶的无穷小，极限为 $0$；当 $k>3$ 时，分子是比 $x^k$ 低阶的无穷小，极限为 $\infty$。 两种方法本质等价，但泰勒展开更简洁，可直接得到主部。本题后续步骤将采用泰勒展开法进行详细计算。

本步骤的目标是确定常数$k$，使得极限$\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x^k}$为非零常数。我们采用两种方法进行求解。 **方法一：洛必达法则** 由于当$x \to 0$时，分子$x - \tan x \to 0$，分母$x^k \to 0$，因此该极限为$\frac{0}{0}$型未定式。应用洛必达法则，对分子和分母分别求导： 分子导数：$\frac{d}{dx}(x - \tan x) = 1 - \sec^2 x$。 分母导数：$\frac{d}{dx}(x^k) = k x^{k-1}$。 于是原极限化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec^2 x}{k x^{k-1}}. $$ 注意到$1 - \sec^2 x = -\tan^2 x$，且当$x \to 0$时，$\tan x \sim x$，因此$1 - \sec^2 x \sim -x^2$。为使极限为非零常数，分母$k x^{k-1}$应与$x^2$同阶，即$k-1 = 2$，解得$k=3$。此时极限为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec^2 x}{3x^2} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{-\tan^2 x}{x^2} = -\frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \left(\frac{\tan x}{x}\right)^2 = -\frac{1}{3} \cdot 1^2 = -\frac{1}{3} \neq 0. $$ 因此$k=3$，极限值为$-\frac{1}{3}$。 **方法二：泰勒展开** 将$\tan x$在$x=0$处展开为泰勒级数： $$ \tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3). $$ 代入分子： $$ x - \tan x = x - \left(x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right) = -\frac{x^3}{3} + o(x^3). $$ 因此，当$x \to 0$时，$x - \tan x \sim -\frac{x^3}{3}$，即与$x^3$同阶。为使极限为非零常数，分母$x^k$应与$x^3$同阶，故$k=3$，极限值为$-\frac{1}{3}$。 两种方法均得到$k=3$，且极限值为$-\frac{1}{3}$。

由前几步的推导可知，当$x \to 0$时，$x - \tan x$与$x^3$是同阶无穷小。具体地，利用泰勒展开：$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + O(x^7)$，代入得$x - \tan x = x - \left(x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + O(x^7)\right) = -\frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{15}x^5 + O(x^7)$。因此，$x - \tan x \sim -\frac{1}{3}x^3$，即$x - \tan x$与$x^3$同阶，且阶数$k=3$。对照题目选项： - (A) $k=1$，错误； - (B) $k=2$，错误； - (C) $k=3$，正确； - (D) $k=4$，错误。 故正确选项为(C)。 **验证**：取$x=0.1$，计算$x-\tan x \approx 0.1 - 0.1003347 = -0.0003347$，而$x^3=0.001$，比值约为$-0.3347$，接近$-\frac{1}{3}$，说明同阶结论正确。