2019年考研数学三第2题

首先，根据题目要求，我们需要研究方程 $x^5 - 5x + k = 0$ 的实根个数与参数 $k$ 的关系。为此，构造函数 $f(x) = x^5 - 5x + k$，其中 $k$ 为常数。我们的目标是分析函数 $f(x)$ 的单调性和极值点，从而判断其零点个数。 对 $f(x)$ 求导，得到导函数： $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5 - 5x + k) = 5x^4 - 5.$$ 提取公因式 $5$，得： $$f'(x) = 5(x^4 - 1).$$ 利用平方差公式分解 $x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1)$，进一步分解 $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$，因此： $$f'(x) = 5(x^2 + 1)(x+1)(x-1).$$ 由于 $x^2 + 1 > 0$ 恒成立，$5 > 0$，所以 $f'(x)$ 的符号完全由 $(x+1)(x-1)$ 决定。令 $f'(x) = 0$，解得 $x = -1$ 或 $x = 1$。这两个点将实数轴分成三个区间：$(-\infty, -1)$、$(-1, 1)$、$(1, +\infty)$。 接下来，我们分析各区间内 $f'(x)$ 的符号： - 当 $x < -1$ 时，$x+1 < 0$，$x-1 < 0$，乘积 $(x+1)(x-1) > 0$，故 $f'(x) > 0$，函数单调递增； - 当 $-1 < x < 1$ 时，$x+1 > 0$，$x-1 < 0$，乘积 $(x+1)(x-1) < 0$，故 $f'(x) < 0$，函数单调递减； - 当 $x > 1$ 时，$x+1 > 0$，$x-1 > 0$，乘积 $(x+1)(x-1) > 0$，故 $f'(x) > 0$，函数单调递增。 因此，$x = -1$ 是函数的极大值点，$x = 1$ 是函数的极小值点。计算极值： $$f(-1) = (-1)^5 - 5(-1) + k = -1 + 5 + k = k + 4,$$ $$f(1) = 1^5 - 5 \cdot 1 + k = 1 - 5 + k = k - 4.$$ 至此，我们完成了构造函数并求导的步骤，得到了函数的单调区间和极值点，为后续判断实根个数奠定了基础。

由第一步求得的导函数 $f'(x)$ 的表达式，分析其符号变化。 首先，令 $f'(x)=0$ 得到驻点 $x=-1$ 和 $x=1$。这两个点将实数轴分成三个区间：$(-\infty, -1)$、$(-1, 1)$、$(1, +\infty)$。 在区间 $(-\infty, -1)$ 内，取测试点 $x=-2$，代入 $f'(x)$ 得 $f'(-2)>0$，故 $f'(x)>0$，函数 $f(x)$ 在该区间单调递增。 在区间 $(-1, 1)$ 内，取测试点 $x=0$，代入 $f'(x)$ 得 $f'(0)<0$，故 $f'(x)<0$，函数 $f(x)$ 在该区间单调递减。 在区间 $(1, +\infty)$ 内，取测试点 $x=2$，代入 $f'(x)$ 得 $f'(2)>0$，故 $f'(x)>0$，函数 $f(x)$ 在该区间单调递增。 根据导数符号的变化规律： - 在 $x=-1$ 处，导数由正变负，因此 $x=-1$ 是极大值点。 - 在 $x=1$ 处，导数由负变正，因此 $x=1$ 是极小值点。 综上，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty, -1)$ 和 $(1, +\infty)$，单调递减区间为 $(-1, 1)$；极大值点为 $x=-1$，极小值点为 $x=1$。

由第二步求得的驻点 $x=-1$ 和 $x=1$，以及二阶导数 $f''(x)=20x^3$，分别判断极值类型并计算极值。 首先，对于 $x=-1$： 计算二阶导数在该点的值：$f''(-1)=20\times(-1)^3=20\times(-1)=-20<0$。 由于二阶导数小于零，根据极值判定定理，$x=-1$ 是函数的极大值点。 将 $x=-1$ 代入原函数 $f(x)=x^5-5x+k$，得极大值： $$f(-1)=(-1)^5-5\times(-1)+k = -1+5+k = 4+k.$$ 其次，对于 $x=1$： 计算二阶导数在该点的值：$f''(1)=20\times1^3=20>0$。 由于二阶导数大于零，$x=1$ 是函数的极小值点。 将 $x=1$ 代入原函数，得极小值： $$f(1)=1^5-5\times1+k = 1-5+k = -4+k.$$ 因此，函数的极大值为 $f(-1)=4+k$，极小值为 $f(1)=-4+k$。注意，极值表达式中含有参数 $k$，最终数值需结合后续步骤中 $k$ 的取值确定。

设三次函数为 $f(x) = x^3 - 3x + k$，其一阶导数为 $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$。令 $f'(x) = 0$，解得驻点 $x = 1$ 和 $x = -1$。计算二阶导数 $f''(x) = 6x$，在 $x = -1$ 处 $f''(-1) = -6 < 0$，故 $x = -1$ 为极大值点；在 $x = 1$ 处 $f''(1) = 6 > 0$，故 $x = 1$ 为极小值点。 计算极值： - 极大值 $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + k = -1 + 3 + k = 2 + k$。 - 极小值 $f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + k = 1 - 3 + k = -2 + k$。 要使方程 $f(x) = 0$ 有三个不同的实根，函数图像必须三次穿过 $x$ 轴，即极大值点位于 $x$ 轴上方，极小值点位于 $x$ 轴下方。因此需满足： - 极大值 $> 0$：$2 + k > 0$，即 $k > -2$。 - 极小值 $< 0$：$-2 + k < 0$，即 $k < 2$。 综合得不等式组： $$ \begin{cases} 2 + k > 0 \\ -2 + k < 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad -2 < k < 2. $$ 注意：若极大值等于0或极小值等于0，则会出现重根，不满足“三个不同实根”的条件，故不等式为严格不等号。

由前一步得到的两个不等式： 1. $4 + k > 0$ 2. $-4 + k < 0$ 首先解第一个不等式： $$4 + k > 0$$ 移项得： $$k > -4$$ 接着解第二个不等式： $$-4 + k < 0$$ 移项得： $$k < 4$$ 将两个解取交集，即同时满足 $k > -4$ 和 $k < 4$ 的 $k$ 的取值范围为： $$-4 < k < 4$$ 因此，$k$ 的取值范围是开区间 $(-4, 4)$。 对应选项为 (D)。 验证：取 $k = 0$ 代入原题条件，满足两个不等式，且 $k$ 在 $(-4,4)$ 内；取 $k = -5$，不满足 $k > -4$，排除；取 $k = 5$，不满足 $k < 4$，排除。因此解集正确。