2010年考研数学一第12题

填空题 · 4分

📝 题目

设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant z \leqslant 1\right\}$ ，则 $\Omega$ 的形心的坚坐标 $\bar{z}=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**: $\displaystyle\frac{2}{3}$ ．

---

**解析**:

方法一 $\bar{z}=\displaystyle\frac{\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v}{\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v}$ ，而 $\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v=\displaystyle\int_{0}^{1} z \mathrm{~d} z \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\pi \displaystyle\int_{0}^{1} z^{2} \mathrm{~d} z=\displaystyle\frac{\pi}{3}$ ，

$$ \iiint_{\Omega} \mathrm{d} v=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} z \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\pi \int_{0}^{1} z \mathrm{~d} z=\frac{\pi}{2} \text {, 所以 } \bar{z}=\frac{2}{3} \text {. } $$

方法二 $\quad \bar{z}=\displaystyle\frac{\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} v}{\iiint_{\Omega} \mathrm{d} v}$, 由 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid(x, y) \in D_{x y}, x^{2}+y^{2} \leqslant z \leqslant 1\right}$ ，其中 $D_{x y}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right}$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4

目标：写出形心竖坐标公式

在求解空间立体的形心竖坐标时，首先需要明确形心（质心）的定义。对于均匀密度的空间立体，其形心坐标由体积分与体积的比值给出。本题要求计算形心的竖坐标 $\bar{z}$，其公式为： $$ \bar{z} = \frac{\iiint_\Omega z \, dv}{\iiint_\Omega dv} $$ 其中，$\Omega$ 表示立体所占的空间区域，$dv$ 是体积微元。分子 $\iiint_\Omega z \, dv$ 是立体对 $z$ 坐标的一次矩（即静矩），分母 $\iiint_\Omega dv$ 是立体的体积。该公式的推导基于质心定义：对于质量均匀分布的物体，质心坐标等于各点坐标的加权平均，权重为体积微元。由于密度为常数，密度因子在分子分母中同时出现并约去，因此形心坐标仅依赖于几何形状。在后续步骤中，需要根据立体 $\Omega$ 的具体形状（例如由曲面围成的区域）选择合适的坐标系（直角坐标、柱坐标或球坐标）来计算这两个三重积分。本步骤仅建立公式，不涉及具体积分计算。

公式：\bar{z} = \frac{\iiint_\Omega z \, dv}{\iiint_\Omega dv}

提示：牢记形心公式是坐标的加权平均，分子是静矩，分母是体积。

步骤 4/4

目标：相除得形心竖坐标

在前三步中，我们已分别计算出立体在$z$方向上的静矩（对$xOy$平面的力矩）为$\frac{\pi}{3}$，以及立体的体积为$\frac{\pi}{2}$。形心的竖坐标$\bar{z}$定义为静矩与体积的比值，即 $$\bar{z} = \frac{\iiint_{\Omega} z \, \mathrm{d}V}{\iiint_{\Omega} \mathrm{d}V} = \frac{\pi/3}{\pi/2}.$$ 进行除法运算： $$\bar{z} = \frac{\pi}{3} \div \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} \times \frac{2}{\pi} = \frac{2}{3}.$$ 因此，该立体的形心竖坐标为$\frac{2}{3}$。 **最终答案验证**： - 体积$V = \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$，静矩$M_{xy} = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472$，比值$\frac{1.0472}{1.5708} = 0.6667$，与$\frac{2}{3}$一致。 - 从几何直观上看，该立体是由旋转抛物面$z = x^2 + y^2$与平面$z = 1$围成的区域，其形心应靠近底部（因为底部较宽），$\bar{z} = \frac{2}{3}$位于$0$到$1$之间且偏向$1$，符合预期。 - 若将$\bar{z}$代入原积分验证，可确认计算无误。综上，形心竖坐标$\bar{z} = \frac{2}{3}$。

公式：$$\bar{z} = \frac{\iiint_{\Omega} z \, \mathrm{d}V}{\iiint_{\Omega} \mathrm{d}V} = \frac{\pi/3}{\pi/2} = \frac{2}{3}$$

提示：形心竖坐标等于静矩除以体积，注意分子是$z$的积分，分母是$1$的积分。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。

← 第11题返回列表第13题 →