2010年考研数学一第13题

已知三个4维列向量： $\alpha_1 = (1, 0, 1, 0)^\mathrm{T}$， $\alpha_2 = (0, 1, 0, 1)^\mathrm{T}$， $\alpha_3 = (1, 1, 0, 0)^\mathrm{T}$。 按照题目要求，将这三个向量按列排列，构造一个 $4 \times 3$ 矩阵 $A$，即： $$A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ 矩阵 $A$ 的每一列对应一个给定的向量，行数4表示向量所在的空间维数，列数3表示向量的个数。该矩阵将用于后续步骤中求解向量组的秩、极大线性无关组以及线性表示等问题。

将第一行作为基准，消去第二、三、四行的第一列元素。设原矩阵为： $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 16 \end{pmatrix} $$ 首先，对第二行进行变换：第二行减去第一行的2倍，即 $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$。计算过程： - 第一列：$2 - 2\times1 = 0$ - 第二列：$4 - 2\times2 = 0$ - 第三列：$6 - 2\times3 = 0$ - 第四列：$8 - 2\times4 = 0$ 得到新的第二行：$(0,0,0,0)$。 其次，对第三行进行变换：第三行减去第一行的3倍，即 $R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$。计算过程： - 第一列：$3 - 3\times1 = 0$ - 第二列：$6 - 3\times2 = 0$ - 第三列：$9 - 3\times3 = 0$ - 第四列：$12 - 3\times4 = 0$ 得到新的第三行：$(0,0,0,0)$。 最后，对第四行进行变换：第四行减去第一行的4倍，即 $R_4 \leftarrow R_4 - 4R_1$。计算过程： - 第一列：$4 - 4\times1 = 0$ - 第二列：$8 - 4\times2 = 0$ - 第三列：$12 - 4\times3 = 0$ - 第四列：$16 - 4\times4 = 0$ 得到新的第四行：$(0,0,0,0)$。 经过上述初等行变换后，矩阵变为： $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 至此，第一列除第一行外全部消为零，完成本步骤目标。

当前矩阵为第二步变换后的结果： $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$ 本步骤目标：将第二行乘以-1，并消去第三、四行的第二列元素。 首先，将第二行乘以-1，得到新的第二行： $$ R_2 \leftarrow (-1) \times R_2 \quad \Rightarrow \quad (0, 1, 2, 3, 4) $$ 矩阵变为： $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$ 接着，消去第三行的第二列元素。当前第三行第二列为2，第二行第二列为1，因此执行： $$ R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2 $$ 计算过程： - 第一列：$0 - 2 \times 0 = 0$ - 第二列：$2 - 2 \times 1 = 0$ - 第三列：$3 - 2 \times 2 = -1$ - 第四列：$4 - 2 \times 3 = -2$ - 第五列：$5 - 2 \times 4 = -3$ 得到新的第三行：$(0, 0, -1, -2, -3)$。 再消去第四行的第二列元素。当前第四行第二列为3，执行： $$ R_4 \leftarrow R_4 - 3R_2 $$ 计算过程： - 第一列：$0 - 3 \times 0 = 0$ - 第二列：$3 - 3 \times 1 = 0$ - 第三列：$4 - 3 \times 2 = -2$ - 第四列：$5 - 3 \times 3 = -4$ - 第五列：$6 - 3 \times 4 = -6$ 得到新的第四行：$(0, 0, -2, -4, -6)$。 最终矩阵为： $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & -4 & -6 \end{pmatrix} $$ 此矩阵已化为行阶梯形，下一步可继续消去第四行第三列元素。

当前矩阵经过前几步的初等行变换后，形式如下： $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a-6 \end{pmatrix} $$ 注意第三行已经全为零，第四行最后一个元素为 $a-6$。为了得到标准的行阶梯形，我们需要将第四行化为非零行（当 $a \neq 6$ 时）或全零行（当 $a = 6$ 时）。但根据步骤目标，我们只需保持当前形式，即第三行全零，第四行最后一个元素为 $a-6$，其余元素为零。因此，当前矩阵已经满足行阶梯形的定义： - 第一行首非零元为1，位于第1列； - 第二行首非零元为1，位于第2列； - 第三行全为零； - 第四行首非零元为 $a-6$（若 $a \neq 6$），位于第5列，且其下方无行。 若 $a = 6$，则第四行也全为零，矩阵化为只有两行非零的行阶梯形。 因此，本步骤无需进一步化简，直接得到行阶梯形矩阵如上。

已知矩阵的秩为2，且已经通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形。在行阶梯形矩阵中，非零行的行数等于矩阵的秩。由于秩为2，因此行阶梯形矩阵中只能有2个非零行，第三行必须全为零。 设行阶梯形矩阵的第三行为$[0,0,0,a-6]$，其中$a-6$是第三行最后一个元素。令第三行全为零，即$a-6=0$，解得$a=6$。 验证：当$a=6$时，原矩阵为 $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 该矩阵只有两个非零行，秩为2，满足条件。因此$a=6$即为所求。