2010年考研数学一第14题

已知随机变量$X$服从参数为$\lambda=1$的泊松分布，其分布律为$P\{X=k\}=\frac{C}{k!},\ k=0,1,2,\ldots$。根据概率分布的归一性（规范性），所有可能取值的概率之和必须等于1，即 $$ \sum_{k=0}^{\infty} P\{X=k\} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{C}{k!} = 1. $$ 将常数$C$提到求和号外，得 $$ C \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1. $$ 注意到指数函数$e^x$的泰勒展开式为$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$，令$x=1$，则 $$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e^1 = e. $$ 因此有 $$ C \cdot e = 1, $$ 解得 $$ C = \frac{1}{e}. $$ 所以常数$C$的值为$\frac{1}{e}$。

将第一步中确定的常数 $C = e^{-1}$ 代入概率表达式 $P\{X=k\} = C \cdot \frac{1}{k!}$，得到： $$ P\{X=k\} = e^{-1} \cdot \frac{1}{k!} = \frac{e^{-1}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots $$ 该形式与泊松分布的概率质量函数完全一致。泊松分布的概率质量函数为： $$ P\{X=k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots $$ 对比可知，这里 $\lambda^k = 1$，即 $\lambda = 1$。因此随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda = 1$ 的泊松分布，记为 $X \sim P(1)$ 或 $X \sim \text{Poisson}(1)$。 泊松分布常用于描述单位时间内随机事件发生的次数，其参数 $\lambda$ 等于均值与方差。此处 $\lambda = 1$ 意味着事件平均发生次数为1。 验证：泊松分布的概率和应为1，即 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-1}}{k!} = e^{-1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e^{-1} \cdot e = 1$，满足归一性。