2020年考研数学三第4题

已知幂级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}(x-2)^{n}$，其收敛区间为 $(-2,6)$。该幂级数的中心为 $x=2$，因此收敛区间是以 $x=2$ 为中心的对称区间。收敛半径 $R$ 定义为区间长度的一半，即从中心到区间端点的距离。区间左端点为 $-2$，右端点为 $6$，中心为 $2$。计算左端点到中心的距离：$2 - (-2) = 4$；右端点到中心的距离：$6 - 2 = 4$。两者相等，故收敛半径 $R = 4$。一般地，若收敛区间为 $(a,b)$，中心为 $c$，则收敛半径 $R = \frac{b-a}{2}$。代入 $a=-2, b=6$ 得 $R = \frac{6-(-2)}{2} = \frac{8}{2} = 4$。因此，该幂级数的收敛半径为 $4$。

已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x+1)^n$ 的收敛半径为 $R=4$。现在考虑另一个幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x+1)^n$，它与原幂级数仅相差一个因子 $n$。根据幂级数的性质，在系数前乘以 $n$（或乘以 $n$ 的多项式）不会改变收敛半径，因为收敛半径由系数增长率的最高阶决定，而 $n$ 的增长速度远低于指数增长。更严格地，设原幂级数的系数为 $a_n$，新幂级数的系数为 $b_n = n a_n$。由根值判别法，收敛半径 $R' = \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|b_n|}} = \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n |a_n|}}$。由于 $\sqrt[n]{n} \to 1$（$n \to \infty$），因此 $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|b_n|} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$，从而 $R' = R = 4$。同理，对于幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n} (x+1)^n$，系数乘以 $1/n$ 同样不改变收敛半径。因此，所有与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x+1)^n$ 仅差一个 $n$ 的幂次因子的幂级数，其收敛半径都与原级数相同，均为 $R=4$。

目标幂级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x+1)^{2n}$。为了利用已知的收敛半径信息，我们进行变量代换。令 $t = (x+1)^2$，则原级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} t^{n}$。根据题目已知条件（或前一步骤结果），级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} t^{n}$ 的收敛半径为 $4$，即当 $|t| < 4$ 时级数绝对收敛，当 $|t| > 4$ 时级数发散。将 $t = (x+1)^2$ 代入，得到 $|(x+1)^2| < 4$。由于 $(x+1)^2 \geq 0$，绝对值可去掉，即 $(x+1)^2 < 4$。两边开平方（注意取绝对值），得 $|x+1| < 2$。因此，原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x+1)^{2n}$ 的收敛半径为 $2$。注意：这里的收敛半径是指关于变量 $x$ 的幂级数展开中心为 $-1$ 时的收敛半径，即 $x$ 满足 $|x+1| < 2$ 时级数收敛。

由幂级数收敛半径的求解结果，已知收敛半径 $R=2$，且收敛区间以 $x=-1$ 为中心。根据收敛半径的定义，当 $|x+1|<2$ 时级数绝对收敛，当 $|x+1|>2$ 时级数发散。因此，解不等式 $|x+1|<2$ 得 $-2

公式：|x+1|<2 \Rightarrow -3

提示：求收敛域时，先确定开区间，再单独验证两个端点的敛散性。