2020年考研数学三第5题

首先，题目给出矩阵 $A$ 不可逆。根据线性代数知识，方阵不可逆的充要条件是行列式为零，即 $|A| = 0$。同时，不可逆也意味着矩阵的秩小于其阶数，由于 $A$ 是4阶方阵，故秩 $r(A) < 4$。 其次，题目指出代数余子式 $A_{12} \neq 0$。代数余子式 $A_{ij}$ 与余子式 $M_{ij}$ 的关系为 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，因此 $A_{12} \neq 0$ 等价于 $M_{12} \neq 0$。余子式 $M_{12}$ 是去掉原矩阵第1行第2列后得到的3阶子式，该子式非零意味着存在一个3阶子式不为零。 结合 $r(A) < 4$ 和存在非零3阶子式，可以推断出矩阵 $A$ 的秩恰好为3，即 $r(A) = 3$。因为秩小于4且至少有一个3阶子式非零，所以秩不可能小于3，只能是3。 综上，已知条件可总结为：$|A| = 0$，$r(A) = 3$，且 $M_{12} \neq 0$。

由步骤1已知，矩阵$A$是一个$3\times 3$的方阵，且已找到一个3阶子式（即整个矩阵的行列式）非零。具体地，计算得$\det(A) \neq 0$，这意味着矩阵$A$中存在一个3阶非零子式（即$A$本身的行列式）。根据矩阵秩的定义，$r(A)$至少等于该非零子式的阶数，因此有$r(A) \geq 3$。 另一方面，由于$A$是3阶方阵，其秩不可能超过3，即$r(A) \leq 3$。又因为题目条件指出$A$不可逆，而方阵可逆的充要条件是行列式非零且秩等于阶数，这里$\det(A) \neq 0$与“$A$不可逆”似乎矛盾？实际上，需要仔细审题：步骤1中我们计算的是某个3阶子式非零，但该子式未必是$A$本身的行列式，可能是$A$的某个3阶子矩阵的行列式。由于$A$是$3\times 3$矩阵，唯一的3阶子式就是$\det(A)$本身，因此$\det(A) \neq 0$，这与$A$不可逆矛盾。 重新检查：题目中“存在3阶非零子式”应理解为存在一个3阶子矩阵的行列式非零，但$A$是3阶方阵，其唯一的3阶子式就是$\det(A)$，所以$\det(A) \neq 0$，从而$A$可逆。但题目明确说$A$不可逆，这提示我们可能$A$不是方阵？或者“3阶非零子式”指的是$A$的某个3阶子式（即从$A$中选取3行3列构成的子式），而$A$本身可能是$m\times n$矩阵且$m,n \geq 3$。但根据题目上下文，$A$是3阶方阵，因此这里存在矛盾。 为了符合题目设定，我们假设步骤1中已正确找到$A$的一个3阶非零子式（例如通过计算某个3阶子矩阵的行列式得到非零），而$A$本身的行列式可能为零（即$A$不可逆）。但若$A$是3阶方阵，则唯一的3阶子式就是$\det(A)$，因此$\det(A) \neq 0$与$A$不可逆不能同时成立。因此，合理的解释是：$A$的阶数大于3，例如$A$是$4\times 4$矩阵，但题目中“3阶非零子式”表明存在一个3阶子式非零，而$A$不可逆意味着$\det(A)=0$，从而$r(A) \leq 3$。结合$r(A) \geq 3$，得到$r(A)=3$。 因此，我们采用标准推理：由于存在3阶非零子式，故$r(A) \geq 3$；又因为$A$不可逆（即$\det(A)=0$），对于方阵而言，不可逆等价于秩小于阶数，所以$r(A) \leq 3$。于是$r(A)=3$。 综上，矩阵$A$的秩为3。

由步骤2可知，矩阵$A$的秩为3，且已找到一个3阶非零子式$D$，该子式位于第2、3、4行和第1、3、4列。根据矩阵秩的定义，$D \neq 0$意味着$D$所在的行向量组（第2、3、4行）线性无关，同时$D$所在的列向量组（第1、3、4列）也线性无关。 设矩阵$A$的列向量为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$，则$D$对应的列向量是$\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$。由于$D$是取自这些列向量在第2、3、4行上的分量构成的3阶子式，且$D \neq 0$，因此向量组$\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$线性无关。 注意：虽然$D$只使用了第2、3、4行的分量，但子式非零足以保证这3个列向量在整体上线性无关（因为若存在一组不全为零的系数使$k_1\alpha_1+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4=0$，则取第2、3、4行的分量也会得到零向量，这与$D \neq 0$矛盾）。 因此，我们找到了一个线性无关的列向量组：$\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$。

已知原矩阵 $A$ 是 4 阶矩阵，且 $r(A)=3$。根据伴随矩阵的秩定理：对于 $n$ 阶矩阵 $A$， - 若 $r(A)=n$，则 $r(A^*)=n$； - 若 $r(A)=n-1$，则 $r(A^*)=1$； - 若 $r(A)

公式：$$r(A^*)=\begin{cases} n, & r(A)=n \\ 1, & r(A)=n-1 \\ 0, & r(A)

提示：牢记伴随矩阵秩的定理：$r(A)=n-1$ 时 $r(A^*)=1$，零空间维数等于 $n-1$。