2020年考研数学三第6题

本题为线性代数中关于特征值与特征向量、线性相关性的综合问题。首先，我们需要仔细梳理题目给出的所有已知条件，为后续的推理和计算奠定基础。 已知条件如下： 1. 存在一个矩阵 $A$（通常为 $n \times n$ 方阵，但具体阶数未明确，根据后续条件可推断至少为3阶）。 2. 存在三个非零向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，满足以下关系： - $A\alpha_1 = \alpha_1$，即 $\alpha_1$ 是矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda_1 = 1$ 的特征向量。 - $A\alpha_2 = \alpha_2$，即 $\alpha_2$ 也是矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda_2 = 1$ 的特征向量。 - $A\alpha_3 = -\alpha_3$，即 $\alpha_3$ 是矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda_3 = -1$ 的特征向量。 3. 向量 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 线性无关。这意味着它们不属于同一个一维特征子空间，即特征值 $1$ 的几何重数至少为2。 此外，题目没有直接说明 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是否线性无关，但根据特征值理论：属于不同特征值的特征向量必定线性无关。由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 属于特征值 $1$，而 $\alpha_3$ 属于特征值 $-1$，因此 $\alpha_3$ 与 $\alpha_1, \alpha_2$ 的任意线性组合都线性无关。但 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 本身线性无关，所以三个向量整体线性无关。 这些条件将用于后续步骤中判断矩阵 $A$ 的可对角化性、求秩、或者求解线性方程组等。本步骤的关键是准确提取并理解每个条件，尤其是特征值与特征向量的对应关系以及线性无关性的含义。

本步骤的目标是明确题目中给出的目标对角矩阵的具体形式，并理解其与特征值、特征向量的对应关系。题目给出的目标对角矩阵为 $\Lambda = \operatorname{diag}(1, -1, 1)$，即一个三阶对角矩阵，其主对角线上的元素依次为 $1, -1, 1$，其余位置均为零。写成矩阵形式为： $$ \Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ 在矩阵对角化问题中，对角矩阵 $\Lambda$ 的对角线元素就是矩阵 $A$ 的特征值，并且每个特征值对应的特征向量构成可逆矩阵 $P$ 的相应列。具体地，对于本题，第一列对应特征值 $\lambda_1 = 1$，第二列对应特征值 $\lambda_2 = -1$，第三列对应特征值 $\lambda_3 = 1$。注意特征值 $1$ 出现了两次（代数重数为2），而特征值 $-1$ 出现一次。这意味着我们需要找到矩阵 $A$ 的两个线性无关的特征向量属于特征值 $1$，以及一个特征向量属于特征值 $-1$。这些特征向量将分别作为可逆矩阵 $P$ 的第一列、第三列（对应特征值 $1$）和第二列（对应特征值 $-1$）。 理解目标对角矩阵是后续求解可逆矩阵 $P$ 和验证 $P^{-1}AP = \Lambda$ 的基础。在后续步骤中，我们将根据这个对角矩阵的结构，利用特征方程 $(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 分别求出每个特征值对应的特征向量，并确保它们线性无关，从而构造出 $P$。

本步骤检验选项（D）是否满足条件。选项（D）给出的矩阵为 $P = (\alpha_1+\alpha_2,\; -\alpha_3,\; \alpha_2)$，即 $P$ 的第一列为 $\alpha_1+\alpha_2$，第二列为 $-\alpha_3$，第三列为 $\alpha_2$。我们需要验证是否存在对角矩阵 $\Lambda$ 使得 $AP = P\Lambda$。 首先计算 $A$ 与 $P$ 各列的乘积。由已知条件，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是 $A$ 的分别属于特征值 $1,-1,1$ 的特征向量，因此有： $$A\alpha_1 = \alpha_1,\quad A\alpha_2 = \alpha_2,\quad A\alpha_3 = -\alpha_3.$$ 计算第一列： $$A(\alpha_1+\alpha_2) = A\alpha_1 + A\alpha_2 = \alpha_1 + \alpha_2.$$ 计算第二列： $$A(-\alpha_3) = -A\alpha_3 = -(-\alpha_3) = \alpha_3.$$ 计算第三列： $$A\alpha_2 = \alpha_2.$$ 将上述结果写成矩阵形式： $$A P = A(\alpha_1+\alpha_2,\; -\alpha_3,\; \alpha_2) = (\alpha_1+\alpha_2,\; \alpha_3,\; \alpha_2).$$ 另一方面，考虑对角矩阵 $\Lambda = \operatorname{diag}(1,\; -1,\; 1)$，则 $$P\Lambda = (\alpha_1+\alpha_2,\; -\alpha_3,\; \alpha_2) \begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix} = (1\cdot(\alpha_1+\alpha_2),\; -1\cdot(-\alpha_3),\; 1\cdot\alpha_2) = (\alpha_1+\alpha_2,\; \alpha_3,\; \alpha_2).$$ 比较 $AP$ 与 $P\Lambda$ 的结果，两者完全相同，因此 $AP = P\Lambda$ 成立，即 $P$ 可逆（因为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，且 $\alpha_1+\alpha_2,\; -\alpha_3,\; \alpha_2$ 也线性无关）且满足相似对角化条件。故选项（D）正确。

为了排除选项（A）、（B）、（C），我们逐一验证它们是否满足特征向量关系 $AP = PD$。 首先回顾已知条件：矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = 1$（二重根）和 $\lambda_2 = 2$（单根），对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2$（属于 $\lambda=1$ 的线性无关特征向量）和 $\beta$（属于 $\lambda=2$ 的特征向量）。 **选项（A）：** $P = (\alpha_1, \alpha_2, \beta)$，$D = \operatorname{diag}(1,1,2)$。 此时 $P$ 的列向量依次是 $\alpha_1, \alpha_2, \beta$，$D$ 的对角元依次是 $1,1,2$。计算 $AP$： $$AP = A(\alpha_1, \alpha_2, \beta) = (A\alpha_1, A\alpha_2, A\beta) = (1\cdot\alpha_1, 1\cdot\alpha_2, 2\cdot\beta) = (\alpha_1, \alpha_2, 2\beta).$$ 而 $PD = (\alpha_1, \alpha_2, \beta)\operatorname{diag}(1,1,2) = (1\cdot\alpha_1, 1\cdot\alpha_2, 2\cdot\beta) = (\alpha_1, \alpha_2, 2\beta).$ 因此 $AP = PD$ 成立，选项（A）满足特征向量关系，不能排除。 **选项（B）：** $P = (\alpha_1, \beta, \alpha_2)$，$D = \operatorname{diag}(1,2,1)$。 此时 $P$ 的列向量顺序为 $\alpha_1, \beta, \alpha_2$，$D$ 的对角元顺序为 $1,2,1$。计算 $AP$： $$AP = (A\alpha_1, A\beta, A\alpha_2) = (1\cdot\alpha_1, 2\cdot\beta, 1\cdot\alpha_2) = (\alpha_1, 2\beta, \alpha_2).$$ 计算 $PD$： $$PD = (\alpha_1, \beta, \alpha_2)\operatorname{diag}(1,2,1) = (1\cdot\alpha_1, 2\cdot\beta, 1\cdot\alpha_2) = (\alpha_1, 2\beta, \alpha_2).$$ 因此 $AP = PD$ 也成立，选项（B）满足特征向量关系，不能排除。 **选项（C）：** $P = (\beta, \alpha_1, \alpha_2)$，$D = \operatorname{diag}(2,1,1)$。 此时 $P$ 的列向量顺序为 $\beta, \alpha_1, \alpha_2$，$D$ 的对角元顺序为 $2,1,1$。计算 $AP$： $$AP = (A\beta, A\alpha_1, A\alpha_2) = (2\cdot\beta, 1\cdot\alpha_1, 1\cdot\alpha_2) = (2\beta, \alpha_1, \alpha_2).$$ 计算 $PD$： $$PD = (\beta, \alpha_1, \alpha_2)\operatorname{diag}(2,1,1) = (2\cdot\beta, 1\cdot\alpha_1, 1\cdot\alpha_2) = (2\beta, \alpha_1, \alpha_2).$$ 因此 $AP = PD$ 同样成立，选项（C）也满足特征向量关系，不能排除。 **结论：** 经过验证，选项（A）、（B）、（C）均满足 $AP = PD$，即它们都满足特征向量关系。因此，这三个选项都不能被排除。但根据题目要求，我们需要找出不满足条件的选项，实际上本题的正确选项是（D），而（A）（B）（C）都是正确的相似对角化形式，故无法通过此步骤排除它们。注意：本步骤的“排除其他选项”在本题中实际意味着确认（A）（B）（C）均正确，从而只有（D）可能错误。