2021年考研数学三第10题

首先，我们需要从给定的样本数据中统计每个取值出现的次数。题目中给出的样本值为：1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2。 我们逐一统计： - 数字1出现的次数：第1个、第5个、第7个样本均为1，共3次。 - 数字2出现的次数：第3个、第4个、第8个样本均为2，共3次。 - 数字3出现的次数：第2个、第6个样本均为3，共2次。 因此，样本频数分布为： $$P(X=1)=\frac{3}{8},\quad P(X=2)=\frac{3}{8},\quad P(X=3)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$$ 总样本容量为$n=8$。 这一步是后续计算样本均值、方差以及构造统计量的基础。频数统计的正确性直接影响后续所有步骤的结果。

根据题目信息，总体$X$的分布律为：$P(X=1)=\frac{1-\theta}{2}$，$P(X=2)=\frac{1+\theta}{4}$，$P(X=3)=\frac{1+\theta}{4}$。样本观测值为：1出现3次，2出现3次，3出现2次，样本容量$n=8$。似然函数$L(\theta)$定义为样本联合概率函数，即各观测值概率的乘积： $$L(\theta)=P(X=1)^3 \cdot P(X=2)^3 \cdot P(X=3)^2$$ 代入各概率表达式： $$L(\theta)=\left(\frac{1-\theta}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1+\theta}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{1+\theta}{4}\right)^2$$ 合并相同因子的指数： $$L(\theta)=\left(\frac{1-\theta}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1+\theta}{4}\right)^{3+2}=\left(\frac{1-\theta}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1+\theta}{4}\right)^5$$ 因此，似然函数为： $$L(\theta)=\frac{(1-\theta)^3 (1+\theta)^5}{2^3 \cdot 4^5}=\frac{(1-\theta)^3 (1+\theta)^5}{8 \cdot 1024}=\frac{(1-\theta)^3 (1+\theta)^5}{8192}$$ 注意：参数$\theta$的取值范围需满足概率非负且和为1，即$0<\theta<1$。

在极大似然估计中，为简化乘积形式的似然函数，通常对其取自然对数，将乘积转化为求和。本题的似然函数为： $$L(\theta) = \left(\frac{1-\theta}{2}\right)^3 \left(\frac{1+\theta}{4}\right)^5$$ 对两边取自然对数，得： $$\ln L(\theta) = \ln\left[\left(\frac{1-\theta}{2}\right)^3 \left(\frac{1+\theta}{4}\right)^5\right]$$ 利用对数性质 $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ 和 $\ln(a^b) = b\ln a$，展开为： $$\ln L(\theta) = \ln\left(\frac{1-\theta}{2}\right)^3 + \ln\left(\frac{1+\theta}{4}\right)^5$$ $$= 3\ln\left(\frac{1-\theta}{2}\right) + 5\ln\left(\frac{1+\theta}{4}\right)$$ 进一步利用 $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ 展开： $$3\ln\left(\frac{1-\theta}{2}\right) = 3[\ln(1-\theta) - \ln 2] = 3\ln(1-\theta) - 3\ln 2$$ $$5\ln\left(\frac{1+\theta}{4}\right) = 5[\ln(1+\theta) - \ln 4] = 5\ln(1+\theta) - 5\ln 4$$ 合并常数项，得到化简后的对数似然函数： $$\ln L(\theta) = 3\ln(1-\theta) + 5\ln(1+\theta) - 3\ln 2 - 5\ln 4$$ 此形式将乘积转化为加法，便于后续对 $\theta$ 求导并求解极大值点。注意：$\theta$ 的取值范围需满足 $1-\theta > 0$ 且 $1+\theta > 0$，即 $-1 < \theta < 1$，以保证对数有意义。

根据步骤3得到的对数似然函数： $$ \ln L(\theta) = 3\ln(1-\theta) + 5\ln(1+\theta) + \text{常数} $$ 其中常数项与$\theta$无关，求导时为零。 对$\ln L(\theta)$关于$\theta$求导： $$ \frac{d}{d\theta}\ln L(\theta) = 3\cdot\frac{1}{1-\theta}\cdot(-1) + 5\cdot\frac{1}{1+\theta}\cdot(1) = -\frac{3}{1-\theta} + \frac{5}{1+\theta} $$ 令导数为零，得到似然方程： $$ -\frac{3}{1-\theta} + \frac{5}{1+\theta} = 0 $$ 将方程整理： $$ \frac{5}{1+\theta} = \frac{3}{1-\theta} $$ 交叉相乘： $$ 5(1-\theta) = 3(1+\theta) $$ 展开括号： $$ 5 - 5\theta = 3 + 3\theta $$ 移项合并： $$ 5 - 3 = 3\theta + 5\theta \quad \Rightarrow \quad 2 = 8\theta $$ 解得： $$ \theta = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$ 因此，驻点为$\hat{\theta} = \frac{1}{4}$。注意，由于$\theta$的取值范围为$(-1,1)$，该解在定义域内。

由第4步得到的似然方程： $$ -\frac{3}{1-\theta} + \frac{5}{1+\theta} = 0 $$ 移项得： $$ \frac{5}{1+\theta} = \frac{3}{1-\theta} $$ 交叉相乘： $$ 5(1-\theta) = 3(1+\theta) $$ 展开括号： $$ 5 - 5\theta = 3 + 3\theta $$ 将含$\theta$的项移到等号左边，常数项移到右边： $$ -5\theta - 3\theta = 3 - 5 $$ 合并同类项： $$ -8\theta = -2 $$ 两边同时除以$-8$： $$ \theta = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4} $$ 因此，参数$\theta$的极大似然估计值为$\hat{\theta} = \frac{1}{4}$。 验证：将$\theta = \frac{1}{4}$代入原似然方程左边： $$ -\frac{3}{1-\frac{1}{4}} + \frac{5}{1+\frac{1}{4}} = -\frac{3}{\frac{3}{4}} + \frac{5}{\frac{5}{4}} = -4 + 4 = 0 $$ 满足方程，且$\theta = \frac{1}{4}$在参数空间$(0,1)$内，故为有效估计值。 对应选项为(A)。