2021年考研数学三第9题

在参数估计问题中，我们通常需要计算估计量的方差以评估其有效性。本题中，估计量 $\hat{\theta} = \bar{X} + \bar{Y}$，其中 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 分别是来自两个独立正态总体的样本均值。由于 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 是随机变量，它们的线性组合的方差公式为： $$D(\hat{\theta}) = D(\bar{X} + \bar{Y}) = D(\bar{X}) + D(\bar{Y}) + 2\operatorname{Cov}(\bar{X}, \bar{Y})$$ 但注意，此处公式中的符号取决于协方差项的正负。根据题目给出的步骤目标，我们需要写出 $D(\hat{\theta}) = D(\bar{X}) + D(\bar{Y}) - 2\operatorname{Cov}(\bar{X}, \bar{Y})$，这实际上隐含了 $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$ 之间可能存在负相关关系，或者题目中估计量定义为 $\hat{\theta} = \bar{X} - \bar{Y}$ 的情形。但根据题目信息，我们按照步骤概要中的形式写出方差公式。 具体地，对于两个随机变量 $U$ 和 $V$，方差的性质为： $$D(U \pm V) = D(U) + D(V) \pm 2\operatorname{Cov}(U, V)$$ 因此，当 $\hat{\theta} = \bar{X} + \bar{Y}$ 时，方差公式为 $D(\bar{X}) + D(\bar{Y}) + 2\operatorname{Cov}(\bar{X}, \bar{Y})$；而当 $\hat{\theta} = \bar{X} - \bar{Y}$ 时，方差公式为 $D(\bar{X}) + D(\bar{Y}) - 2\operatorname{Cov}(\bar{X}, \bar{Y})$。本题步骤目标明确给出减号形式，故我们采用该形式。 接下来，我们需要分别计算 $D(\bar{X})$、$D(\bar{Y})$ 和 $\operatorname{Cov}(\bar{X}, \bar{Y})$。由于 $\bar{X}$ 和 $\bar{Y}$ 来自两个独立总体，通常协方差为零，但若样本之间存在某种相关性（例如配对样本），则协方差不为零。此处我们仅写出公式，具体数值将在后续步骤中代入。 因此，本步骤的关键是正确写出方差分解公式，为后续代入样本方差和协方差做好准备。

已知样本$X_1, X_2, \dots, X_n$独立同分布于总体$X$，总体方差为$\sigma_1^2$；样本$Y_1, Y_2, \dots, Y_n$独立同分布于总体$Y$，总体方差为$\sigma_2^2$。两个样本相互独立。样本均值定义为$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，$\bar{Y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i$。 根据方差的性质：对于独立随机变量，和的方差等于方差之和；常数倍随机变量的方差等于常数平方乘以原方差。因此： $$D(\bar{X}) = D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} D\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma_1^2 = \frac{\sigma_1^2}{n}.$$ 同理， $$D(\bar{Y}) = \frac{\sigma_2^2}{n}.$$ 由于两个样本相互独立，$\bar{X}$与$\bar{Y}$也相互独立，因此它们的协方差$\operatorname{Cov}(\bar{X}, \bar{Y}) = 0$。这一结论将在后续步骤中用于计算$\bar{X}-\bar{Y}$的方差。 至此，我们得到了两个样本均值的方差表达式，它们仅依赖于总体方差和样本容量$n$。

我们需要计算样本均值 $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$ 的协方差 $\operatorname{Cov}(\bar{X},\bar{Y})$。 首先，由样本均值的定义： $$ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i, \quad \bar{Y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_i. $$ 协方差具有双线性性质，因此： $$ \operatorname{Cov}(\bar{X},\bar{Y}) = \operatorname{Cov}\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i,\; \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} Y_j \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \operatorname{Cov}(X_i, Y_j). $$ 由于来自不同个体的观测是独立的（即当 $i \neq j$ 时，$X_i$ 与 $Y_j$ 相互独立），所以当 $i \neq j$ 时，$\operatorname{Cov}(X_i, Y_j) = 0$。当 $i = j$ 时，$\operatorname{Cov}(X_i, Y_i)$ 是同一对观测 $(X_i,Y_i)$ 的协方差，由题目条件知 $\operatorname{Cov}(X_i,Y_i) = \rho \sigma_1 \sigma_2$。 因此，求和式中只有 $i=j$ 的 $n$ 项非零： $$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \operatorname{Cov}(X_i, Y_j) = \sum_{i=1}^{n} \operatorname{Cov}(X_i, Y_i) = n \cdot \rho \sigma_1 \sigma_2. $$ 代入得： $$ \operatorname{Cov}(\bar{X},\bar{Y}) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \rho \sigma_1 \sigma_2 = \frac{\rho \sigma_1 \sigma_2}{n}. $$ 因此，样本均值 $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$ 的协方差为 $\frac{\rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$。

将前一步得到的方差表达式代入具体数值进行化简。已知两个独立样本的方差分别为 $\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$，样本容量均为 $n$，且两个样本之间存在相关系数 $\rho$。在第四步中，我们已得到估计量 $\hat{\theta} = \bar{X} - \bar{Y}$ 的方差为： $$D(\hat{\theta}) = D(\bar{X}) + D(\bar{Y}) - 2\text{Cov}(\bar{X}, \bar{Y})$$ 其中 $D(\bar{X}) = \frac{\sigma_1^2}{n}$，$D(\bar{Y}) = \frac{\sigma_2^2}{n}$，$\text{Cov}(\bar{X}, \bar{Y}) = \frac{\rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$。代入得： $$D(\hat{\theta}) = \frac{\sigma_1^2}{n} + \frac{\sigma_2^2}{n} - 2 \cdot \frac{\rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$$ 将三项合并，分母均为 $n$，分子为 $\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho \sigma_1 \sigma_2$，即： $$D(\hat{\theta}) = \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$$ 此即为最终方差表达式。对照题目选项，该结果与选项（B）完全一致，故正确答案为（B）。