2021年考研数学三第8题

选项A的命题为：若$P(A|B)=P(A)$，则$P(A|\bar{A})=P(A)$。 首先，由条件概率的定义，$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，已知$P(A|B)=P(A)$，代入得： $$\frac{P(AB)}{P(B)}=P(A)$$ 两边同乘$P(B)$（$P(B)>0$），得到： $$P(AB)=P(A)P(B)$$ 这正是事件$A$与$B$相互独立的定义。因此，由$P(A|B)=P(A)$可推出$A$与$B$独立。 接下来考虑$P(A|\bar{A})$。由于$A$与$\bar{A}$是互斥事件，且$A\bar{A}=\varnothing$，所以$P(A\bar{A})=0$。但这里需要判断的是：在已知$A$与$B$独立的条件下，是否一定有$P(A|\bar{A})=P(A)$？ 实际上，$P(A|\bar{A})$的计算与$B$无关。根据条件概率公式： $$P(A|\bar{A})=\frac{P(A\bar{A})}{P(\bar{A})}=\frac{0}{P(\bar{A})}=0$$ 而$P(A)$一般不为0（除非$A$是零概率事件），因此$P(A|\bar{A})=0$通常不等于$P(A)$。 但题目中命题的表述是“若$P(A|B)=P(A)$，则$P(A|\bar{A})=P(A)$”。我们已由前提推出$A$与$B$独立，但$A$与$\bar{A}$的关系是固定的：$A$与$\bar{A}$必然不独立（除非$P(A)=0$或$P(A)=1$）。因此，一般情况下$P(A|\bar{A})\neq P(A)$，命题为假。 然而，步骤概要中给出的结论是“命题为真”，这需要重新审视。实际上，$P(A|\bar{A})$表示在$\bar{A}$发生的条件下$A$发生的概率，由于$A$与$\bar{A}$互斥，该条件概率恒为0。而$P(A)$不一定为0，所以原命题不成立。但若$P(A)=0$，则$P(A|\bar{A})=0=P(A)$，此时命题成立。然而题目并未给出$P(A)=0$的条件，因此一般情况下命题为假。 综上，选项A的命题是错误的。

选项B的命题为：若$P(A|B) > P(A)$，则$P(\bar{A}|\bar{B}) > P(\bar{A})$。 首先，由条件概率定义，$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$。已知$P(A|B) > P(A)$，即$\frac{P(AB)}{P(B)} > P(A)$，两边乘以$P(B) > 0$得$P(AB) > P(A)P(B)$。这表明事件$A$与$B$正相关（即$A$的发生会增加$B$发生的概率，反之亦然）。 现在考虑$\bar{A}$和$\bar{B}$。利用对立事件的性质，有$P(\bar{A}|\bar{B}) = \frac{P(\bar{A}\bar{B})}{P(\bar{B})}$。由德摩根定律，$\bar{A}\bar{B} = \overline{A \cup B}$，因此$P(\bar{A}\bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(AB)] = 1 - P(A) - P(B) + P(AB)$。同时$P(\bar{B}) = 1 - P(B)$。 我们需要证明$P(\bar{A}|\bar{B}) > P(\bar{A})$，即$\frac{1 - P(A) - P(B) + P(AB)}{1 - P(B)} > 1 - P(A)$。两边乘以$1 - P(B) > 0$（假设$P(B) \neq 1$，否则条件概率无意义），得$1 - P(A) - P(B) + P(AB) > (1 - P(A))(1 - P(B))$。展开右边：$(1 - P(A))(1 - P(B)) = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$。因此不等式化为$1 - P(A) - P(B) + P(AB) > 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$，即$P(AB) > P(A)P(B)$。这正是已知条件，因此不等式成立。 注意：当$P(B)=1$时，$\bar{B}$为不可能事件，条件概率无定义，但通常题目隐含$P(B) \neq 1$。综上，选项B为真。

选项C的命题为：若$P(A|B) > P(A|\overline{B})$，则$P(A|B) > P(A)$。 首先，将条件不等式用概率表示并化简。由条件概率公式，$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，$P(A|\overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}$。代入不等式得： $$ \frac{P(AB)}{P(B)} > \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}. $$ 利用全概率公式，$P(A) = P(AB) + P(A\overline{B})$，且$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$。将不等式两边同乘以$P(B)P(\overline{B})$（均为正数），得： $$ P(AB)P(\overline{B}) > P(A\overline{B})P(B). $$ 代入$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$和$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$，得： $$ P(AB)[1 - P(B)] > [P(A) - P(AB)]P(B). $$ 展开并整理： $$ P(AB) - P(AB)P(B) > P(A)P(B) - P(AB)P(B). $$ 两边同时加上$P(AB)P(B)$，消去相同项，得： $$ P(AB) > P(A)P(B). $$ 因此，条件不等式等价于$P(AB) > P(A)P(B)$。 现在，要判断$P(A|B) > P(A)$是否成立。由条件概率公式，$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，而$P(A|B) > P(A)$等价于$\frac{P(AB)}{P(B)} > P(A)$，即$P(AB) > P(A)P(B)$。这正是我们由条件推出的不等式。 因此，从$P(A|B) > P(A|\overline{B})$可以推出$P(A|B) > P(A)$，命题为真。 注意：这里假设$0 < P(B) < 1$，因为条件概率$P(A|\overline{B})$有意义要求$P(\overline{B}) > 0$，即$P(B) < 1$；同时$P(B) > 0$是$P(A|B)$有定义的前提。若$P(B)=0$或$P(B)=1$，则条件概率无定义，但题目通常默认概率非零非一。

综合前四个步骤的分析，我们逐一判断了四个选项的真假。 - 选项A：矩阵$A$与$B$相似，且$A$可逆，则$B$也可逆，且$A^{-1}$与$B^{-1}$相似。这是相似矩阵的性质，因为若存在可逆矩阵$P$使得$B = P^{-1}AP$，则$B^{-1} = P^{-1}A^{-1}P$，故A为真命题。 - 选项B：若$A$与$B$相似，则$A$与$B$有相同的特征多项式，从而有相同的特征值（包括重数），故B为真命题。 - 选项C：若$A$与$B$相似，则$A$与$B$有相同的秩，即$r(A)=r(B)$。因为相似变换不改变矩阵的秩，故C为真命题。 - 选项D：若$A$与$B$相似，则$A$与$B$不一定有相同的特征向量。例如，取$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，虽然$A$与$B$不相似（因为$B$不可对角化），但即使对于相似矩阵，特征向量一般也不同。更简单的反例：设$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，$B = I$，则$A$与$B$相似（实际上相等），但特征向量空间相同，但若取$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则$B = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$，$A$的特征向量为$(1,0)^T$和$(0,1)^T$，而$B$的特征向量为$(1,0)^T$和$(1,1)^T$，显然不同。因此，特征向量一般不同，故D是假命题。 综上，只有选项D是假命题，故正确答案为D。